Hallo,

das Bild einer Abbildung beinhaltet alle Elemente, die von der Abbildung angenommen werden. Wir gucken uns also unsere Lösungsmatrix an

\( \begin{pmatrix} 2(a+b) & 2(a+b) \\ 3c & c \end{pmatrix} \)

Wir können ab hier zwei Wege gehen. Entweder wir sehen sofort, das \( a \) und \( b \) nur als \( (a+b) \) vorkommen und ersetzen sofort \( (a+b) \) durch einen neuen Parameter \( w \) oder wir ziehen die Summe auseinander und erhalten 

\( \begin{pmatrix} 2a +2b & 2a + 2b \\ 3c & c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2a  & 2a  \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2b & 2b \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 3c & c \end{pmatrix} \\ = 2a \begin{pmatrix} 1  & 1  \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + 2b \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \)

Wir haben also 3 Matrizen von denen aber die ersten beiden Matrizen gleich sind also insbesondere linear abhängig. Somit bleiben als Basisvektoren für das Bild von \( L \) 

\( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \)

Hätten wir \( (a+b) = w \) gesetzt hätten wir 

\( \begin{pmatrix} 2w & 2w \\ 3c & c \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} 2w  & 2w  \\ 0 & 0 \end{pmatrix} +   \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 3c & c \end{pmatrix} \\ = 2w \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \)

Wir erhalten hier sofort die 2 Basismatrizen. 

Schlussfolgernd haben wir also 2 Basismatrizen des Bildes und somit hat unser Bild die Dimension 2.

Grüße Christian