Ich weiß nicht ob ich vielleicht nicht genau genug war. Du musst die Hesse-Matrix der Lagrangefunktion bestimmen. Aber nur nach \( x \) und \( y \) differenziert, also mit \( W(r,x,y) = W \)
\( \begin{pmatrix} W_{xx} & W_{xy} \\ W_{xy} & W_{yy} \end{pmatrix} \)
Dort musst du jetzt deine möglichen Extrema einsetzen und die Matrix auf Definitheit überprüfen. Ist diese jedoch auch indefinit, so kann man keine Aussagen treffen.
Du kannst sonst noch auf die geänderte Hesse-Matrix zurück greifen. Das ist die Hesse-Matrix der Lagrangefunktion.
Also wieder mit \((W(r,x,y) = W) \)
\( \begin{pmatrix} W_{rr} & W_{rx} & W_{ry} \\ W_{xr} & W_{xx} & W_{xy} \\ W_{yr} & W_{yx} & W_{yy} \end{pmatrix} \)
Da die Lagrangefunktion nach \( r \) abgeleitet die Nebenbedingung ergibt, erhalten wir mit \( g(x,y) = 2x+3y -36 \)
\( \begin{pmatrix} 0 & g_{x} & g_{y} \\ g_{x} & W_{xx} & W_{xy} \\ g_{y} & W_{xy} & W_{yy} \end{pmatrix} \)
Diese hinreichende Bedingung ist allgemein etwas komplizierter.
Ich gehe mal nur auf den Fall ein, das man 2 Variablen und eine Nebenbedingung hat wie bei dir. Wenn für dich noch weitere Fälle relevant sind, kann ich das gerne noch weiter ausführen.
Wenn die Determinante der geänderte Hesse-Matrix
- negativ ist, dann liegt ein Minimum vor
- positiv ist, dann liegt ein Maximum vor
- Null ist, so lässt sich nicht sagen ob ein Extremum vorliegt
Wenn die Determinante Null ist, bleibt nur noch der graphische Weg. Du kannst dir das ganze zum Beispiel mit Geogebra visualisieren.
Grüße Christian