Das charakteristische Polynom der linken Seite ist unmittelbar abzulesen:

Sei allgemein ausgedrückt 

\( a_{n} y^{(n)}(x) + a_{n-1} y^{(n-1)}(x) + ... + a_{1} y^{'}(x) + a_{0}y(x) \)

deine linke Seite. Dann ist das charakteristische Polynom gegeben durch

\( P(\lambda ) = \sum\limits_{k=0}^{n} a_{k} \lambda ^{k} \)

Informell ausgedrückt nimmst du dir also lediglich eine Variable \( \lambda \) und übernimmst den Grad der Ableitung als den Grad der Potenz, wobei du die Koeffizienten einfach übernimmst. 

Also man muss letztendlich auf  (λ−3)^2(λ^2 + 2) kommen, dann kann man die Nullstellen berechnen, ich weiß jedoch nicht, wie man auf diese Form kommt.

Gegeben ist das charakteristische Polynom \(x^{4} - 6x^{3} + 11 x^{2} - 12 x + 18 \)

Die gewünschte Form erhalten wir durch Polynomdivision: Durch Einsetzen erhalten wir die Information, dass \(x=3\) eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist. Die Polynomdivision liefert

Durch Einsetzen erhalten wir wiederum die Information, dass \(x=3\) auch eine Nullstelle von \(x^{3}-3x^{2} + 2x -6\) ist. Eine weitere Polynomdivision liefert:

und somit erhalten wir insgesamt 

\((x-3)^{2} \cdot (x^{2} +2) \)