Hi,
gehen wir mal davon aus, dass der Ursprung des Koordinatensystems seinen Ursprung in der Mitte des Tunnels auf dem Boden hat, so dass der Ursprung im Mittelpunkt des "Kreises" liegt. Dann kannst du die Kreisgleichung verwenden (ich glaube, dass damit der Tipp zum Pythagoras gemeint war). Die Kreisgleichung lautet
\( x^{2} + y^{2} = r^{2} \)
Das bedeutet, dass in diesem Fall bei einem Radius von \(4m \) die Gleichung
\( x^{2} + y^{2} = 4^{2} \)
lautet. Dies möchten wir aber für die folgende Bearbeitung nach y auflösen. Deswegen erhalten wir
\(y = + \sqrt{4^{2} - x^{2}} \)
Warum machen wir das aber alles? Dadurch, dass wir den Ursprung des Korrdinatensystems in den Mittelpunkt des Kreises gelegt haben, lautet die Formel für den Flächeninhalt des Rechtecks
\( A = 2x_{0} \cdot y_{0} \)
Wir betrachten den Wert auf der x-Achse also etwas anders, damit wir die Bedingung haben, dass \(x_{0} \) und \(y_{0} \) selbstverständlich nicht länger sein dürfen als der Radius \( 4 \).
Du hast nun also eine Hilfszielfunktion
\( A(x_{0}) = 2x_{0} \cdot y_{0} \)
Nun haben wir aber durch die Kreisgleichung schon eine Umformung von \(y\), wodurch die Hilfszielfunktion nur noch von einer Variablen abhängt:
\(A(x_{0}) = 2x_{0} \cdot \sqrt{4^{2} - x_{0}^{2}} \)
Nun ist es deine Aufgabe ein Maximum dieser Hilfszielfunktion zu bestimmen. Falls dir das Ableiten durch den Wurzel-Ausdruck zu schwer fallen sollte, kannst du auch die Funktion
\(A^{2}(x) = 4x_{0}^{2} (4^{2} - x_{0}^{2}) = 64x_{0}^{2} - 4x_{0}^{4} \)
betrachten, denn: Hat eine positive Funktion \(f \) ein Maximum in einem Intervall \([a,b] \), so hat auch \(f^{2}\) ein Maximum an derselben Stelle. Du musst dann nur lediglich zum Schluss den optimalen x-Wert, den du bei \(A^{2}(x)\) rausbekommen hast in \(A(x) \) einsetzen, damit du auch den richtigen Optimalwert (maximal möglicher Flächeninhalt) als Lösung bekommst.
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