Hallo,

aus der Koordinatenform einer Ebene \(\varepsilon: ax+by+cz=d\) lässt sich der Normalenvektor \(\vec{n}=\begin{pmatrix}a\\ b\\c \end{pmatrix}\) ablesen. Sei ferner P ein Punkt, der in der Ebene liegt, sprich es gilt \(P \subseteq \varepsilon\).

Nun muss das Skalarprodukt des Richtungsvektors der Geraden und dem NV der Ebene gleich null sein. (\(\vec{a}:=\textrm{RV}_{\varepsilon}\))

Angenommen, wir kennen diesen, stellst du nun eine Geradengleichung einer Geraden g auf, so gilt:

\(g \subseteq \varepsilon \Leftrightarrow g:\vec{x}= \overrightarrow{OP}+\lambda \vec{a}\\
g \parallel \varepsilon \Leftrightarrow g:\vec{x}=\overrightarrow{OQ}+ \lambda \vec{a} \;\;\;\;\; (Q \notin \varepsilon)\)

Z.B.

\(\varepsilon: 5x+7y-3z=-44 \rightarrow \vec{n}=\begin{pmatrix}5\\ 7\\-3 \end{pmatrix}\)

Nun suchen wir einen zu \(\vec{n}\) parallelen Vektor, also setzen wir zwei beliebige Werte ein, und lösen auf:

\(\begin{pmatrix}5\\ 7\\-3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}3\\ 2\\x \end{pmatrix} =0 \longrightarrow x=\dfrac{29}{3}\)

Wählen wir nun einen Punkt P, der in der Ebene liegt, z.B. \(P(2|3|25)\), so lautet die Geradengleichung für eine Gerade, die in der Ebene liegt:

\(g_1:\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\ 3\\25 \end{pmatrix}+\lambda \begin{pmatrix}3\\ 2\\\frac{29}{3} \end{pmatrix}\)

und die Gleichung für eine Gerade, die parallel, aber nicht in der Ebene liegt:

\(g_2:\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\ -15\\8 \end{pmatrix}+\lambda \begin{pmatrix}3\\ 2\\\frac{29}{3} \end{pmatrix}\)

Hier nochmal visuell mit Geogebra:

https://www.geogebra.org/m/uu9rqfb8