(Twitter)
Hallo,
wenn \( x \) keine Matrix ist, so ist \( A-x \) nicht definiert, da von einer Matrix nur eine andere Matrix subtrahieren kann.
Womöglich ist dies eine Konvention die dein Profesor festgelegt hat, da \( E \) die Einheitsmatrix ist und er sich Schreibarbeit sparen möchte.
In welchem Zusammenhang ist dies denn aufgetaucht?
Grüße Christian
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
Achso du meinst das vermutlich, weil wir von der Gleichung
\( Av = xv \)
ausgehen, mit \( A \) der Abbildung, \( v \) dem Eigenvektor und \( x \) dem Eigenwert, oder?
Jeder Endomorphismus kann durch eine Matrix dargestellt werden, ebenso die Identitäsabbildung \( id_V \). Die zugehörige Matrix zur Identitätsabbildung ist die Einheitsmatrix \( E \).
Wenn unser Endomorphismus \( f \) ( dargestellt durch die Matrix \( A \) ) einen Eigenvektor \( v \neq 0 \) zum Eigenwert \( x \) bestitzt, so gilt
\( Av = xv \\ Av - xv = 0 \\ Av - x Ev = 0 \)
Den letzten Schritt dürfen wir machen, da \( Ev = v \). Nun gilt für Matizen sowohl das rechtsseitige, als auch das linksseite Distributivgesetz, also
\( Av-x Ev = 0 \\ (A-xE)v =0 \)
Da \( v \neq 0 \), muss \( det(A-xE)=0 \) gelten wenn wir das Gleichungssystem lösen wollen und daraus erhalten wir dann das charakteristische Polynom.
Ich hoffe ich konnte die Frage klären, ansonsten melde dich nochmal
Grüße Christian
─ christian_strack 13.03.2019 um 10:38
Noch als Zusatz. Ein Endomorphismus als Matrix dargestellt, wirkt immer nach rechts. Somit gilt nicht \( A-x = A-xE \)
xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mo>−</mo><mi>x</mi><mo>=</mo><mi>A</mi><mo>−</mo><mi>x</mi><mi>E</mi></math>">Dies gilt eben nur, weil beide Matrizen \( A \) und \( E \) auf den Eigenvektor \( v \) wirken.
Grüße Christian
─ christian_strack 13.03.2019 um 10:43Hallo Christian
Danke der Knoten ist geplatzt :)
Es gilt ja, nur weil wenn man einen Skalar Mit einem Vektor multiplizieren würde ist dies ja das gleiche, wie wenn man den Skalar mit der Identitätsabbildung mal den Vektor multipliziert.
oder?
Vielen Dank
Gruss Christian
─ chrugi 13.03.2019 um 13:44Ganz genau :)
Freut mich zu hören.
Grüße Christian
─ christian_strack 13.03.2019 um 14:30
Im Zusammenhang mit der Eigenwerttheorie und dem char. Polynom.
Ich habe es einfach so hingenommen aber mich nun gefragt wieso dies so ist.
Gruss
Christian
─ chrugi 13.03.2019 um 07:32