Hallo,

\(f(x)=\dfrac{2}{x}-3 \longrightarrow f^{-1}(x)=\dfrac{2}{x}+3\)

Wie du grundsätzlich Definitions- und Zielmenge bestimmst, weißt du?

DM: Du schaust, welche x-Werte du für deine Funktion einsetzen darfst, damit sie definiert ist.
ZM: Du schaust, welche Funktionswerte sich ergeben.

Z.B. \(g(x)=x^2 \;\;\; (x\in \mathbb{R})\). Dann gilt für die Definitionsmenge: \(D=\{x\in \mathbb{R}\}\) und für die Zielmenge: \(Z=\{x \in \mathbb{R} | x\geq 0\}\)

In deinem Beispiel hat \(f(x)\), genauso wie \(f^{-1}(x)\) eine Definitionslücke bei \(x=0\) (Division durch null). Da du aber nur Werte größer 3 einsetzen darfst, entfällt diese. Also gilt für beide: \(D=\{x|x>3\}\).

Für die Zielmenge entfällt hier der Bruch \(\dfrac{2}{x}\), da hier eine Division durch null stattfindet. Also bleibt in deiner Umkehrfunktion noch der Term \(+3\) übrig. Angenommen, der Bruch an der Stelle x=0 wäre null, dann hättest du als Funktionswert 3. Da dies jedoch nicht möglich ist, müsstest du schauen, ob du noch mit anderen x-Werten den FW f(x)=3 erreichst. Das ist nicht möglich. Also würde für die Zielmenge gelten \(Z=\{x\in \mathbb{R}|x\neq 3\}\). Allerdings gilt ja \(x>3\). Somit ist deine Funktion im Intervall \(]3,\infty[\) umkehrbar.