Aufgabenteil a):

\( C= \{ (1,3),(2,2) \} \subset A \cup B \Rightarrow P(C) \leq P(A \cup B)=0,45\)

\( \Rightarrow P(C^{C}) = 1 - P(C) \geq 1-0,45 = 0,55 \)

Aufgabenteil b):

Es gilt 

\( P(A)+P(B) = P(A \cup B) + P(A \cap B) \)

Daraus erhält man durch das Einsetzen der gegeben Werte

\( P(A \cap B) = 0,15 \)

Es ist \( A \cap B = \{(1,2)\} \) und damit offensichtlich \( D = B \backslash (A \cap B) \)

Daraus erhalten wir

\( P(D) = P(B \backslash (A \cap B)) = P(B) - P( A \cap B) = 0,35 - 0,15 = 0,2 \)

Die Ausdrücke sind gleich, denn

\( B \backslash (A \cap B) = (B \backslash A) \cup (B \backslash B) = B \backslash A \)

Durch meinen Vorschlag haben wir aber mit \( A \cap B \) eine Teilmenge von B, weswegen man dann bei der Wahrscheinlichkeit der Differenzmenge \( B \backslash ( A \cap B) \) einfach die beiden Wahrscheinlichkeiten voneinander subtrahieren kann.

Schau dir noch einmal den Zwischenschritt an, es wird nirgendwo behauptet, dass \( A \cap B = A \) gelten soll. 

Die Gleichheit der beiden Ausdrücke kannst du dir auch sehr gut mit Hilfe von Venn-Diagrammen veranschaulichen.

Hallo stevesimson1,

hier ist das Venn-Diagramm:

• Die linke »Mondsichel« des A-Kreises ist \(A\backslash B\).
• Die rechte »Mondsichel« des B-Kreises ist \(B\backslash A\).
• Die Linse in der Mitte ist die Schnittmenge \(A\cap B\).

\(B\backslash A\) bedeutet also nur, dass Du den Teil des B-Kreises betrachtest, in dem die Elemente der Menge B liegen, die nicht gleichzeitig Elemente der Menge A sind. Es bdeutet nicht, dass Du alle Elemente der Menge A von allen Elementen der Menge B abziehst (das wäre auch merkwürdig). Insofern ist sofort einsichtig, dass die Äquivalenz in Gleichung (1) gilt.

$$B\backslash A\leftrightarrow B\backslash (A\cap B)$$

Viele Grüße
jake2042