Hallo ich weiss, dass du das wahrscheinlich nicht mehr brauchen wirst, aber ich bin per Zufall über diese Frage gestolpert und bin der Meinung ich antworte hier kurz auch falls andere Forenmittglieder das lesen und das gleiche Problem haben, dass sie dann eine Antwort haben. 

Ja du hast recht, man hat da einen "Notationsmissbrauch". Also wenn $X:\Omega \rightarrow M$ eine Zuvallsvariabel ist wobei $M$ eine beliebige Menge ist (bei dir ist $M=\Bbb{R}$), dann spricht man immer von z.B. $$\Bbb{P}(X\in A)$$ wobei $A\subset M$, dann gilt $$\Bbb{P}(X\in A):=\Bbb{P}(\{\omega \in \Omega|X(\omega)\in A)=\Bbb{P}(X^{-1}(A))$$.

Deine Aussage folgt nun wenn du $A=\{xm\}$ und dann analog die gleichen Schritte machst wie ich oben einfach mit $\leq$ anstatt $\in$.

Das ist wiso man das so schreibt, es ist ein wenig einfacher. Eigentlich kann man aber $\Bbb{P}(X\in A)$ auch sehen als funktion $$P_X:P(M)\rightarrow [0,1]$$ wobei $P_X(A)=\Bbb{P}(X\in A)$, aber das ist genau ein Bildmass auf unserer Menge $M$. Also mit dieser Funktion konnten wir das Mass $\Bbb{P}$ auf $\Omega$ zu einem Mass auf $M$ transportieren.