Wir haben es hier mit einer Funktion zu tun, die auf einer Teilmenge von \( \mathbb{R} \) definiert ist. Eine Folge ist eine Abbildung auf \( \mathbb{N} \). Daher ist diese Vorgehensweise hier falsch und nicht zulässig.

Der Einser soll natürlich nur zur Veranschaulichung dienen. Wenn du es genau machen willst, musst du natürlich ein x1 und x2 wählen, wobei gilt, dass x1<x2 ist. Das x2 definierst du dir dann als x1+h (h muss daher irgendeine positive reele Zahl sein) damit die obige Vorraussetzung gilt.

Wenn du dir nun die beiden Funktionswerte an den Stellen f(x) und f(x+h) ansiehst und diese umformst, kommst du auf folgende Ungleichung: x<h+x.

Da das h ja positiv gewählt wurde, ist die Ungleichung erfüllt und damit ist die Funktion streng monoton steigend.

Danke für die zahlreichen Antworten :)
Ich habe es glaube ich sogar tatsächlich anders gelöst.
Es wäre schon wenn jemand mein Rechenweg bestätigen könnte.
Ich habe die Äquivalenzgleichung wie folgt begonnen:

                                                   *(1-x) u. *(1-y)                                                     +xy
f(x) < f(y)  <=>  x/(1-x) < y/(1-y)        <=>        x(1-y) < y(1-x)  <=> x - xy < y - yx <=> x<y

Nicht für alle x aus \( \mathbb{R} \). 

Die Funktion ist nur auf den Intervallen (-\( \infty \), 1) und (1, \( \infty \)) streng monoton.

Nein in der Uni hatten wir das Thema noch nicht behandelt. Bisher haben wir die Ungleichung f(x) <f(y) so umgeformt, dass x<y rauskam