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Hallo,
ich glaube du hast dich verschrieben. Bei deiner Beschreibung der rechten Seite der Gleichung schriebst du
\( \ldots + b_2(a_1 + \ldots + a_{n-1} ) + \ldots \)
Ich vermute es sollte
\( \ldots + b_2(a_2 + \ldots + a_{n} ) + \ldots \)
heißen, oder?
Wenn ja, würde ich das ganze folgendermaßen als Reihe darstellen
\( \sum_{i=1}^n(a_i \cdot (\sum_{k=1}^{i} b_k )) = \sum_{i=1}^n (b_i \cdot (\sum_{k=i}^n a_k )) \)
Das kannst du nun relativ leicht mit Hilfe der vollständigen Induktion beweisen.
Probiere es mal ansonsten melde dich nochmal.
Grüße Christian
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\( n \to n+1 \)
\( \sum_{i=1}^{n+1} (a_i \cdot (\sum_{k=1}^{i} b_k )) = \sum_{i=1}^{n+1} (b_i \cdot (\sum_{k=i}^{n+1} a_k)) \)
Die Linke Seite aufzusplitten ist relativ einfach
\( \sum_{i=1}^{n} (a_i \cdot (\sum_{k=1}^{i} b_k )) + (a_{n+1} \cdot (\sum_{k=1}^{n+1} b_k)) \)
Nun zur Rechten. Wir fangen mit der äußere Summe an
\( \sum_{i=1}^{n+1} (b_i \cdot (\sum_{k=i}^{n+1} a_k)) = \sum_{i=1}^{n} (b_i \cdot (\sum_{k=i}^{n+1} a_k) ) + b_{n+1}a_{n+1} \)
Nun zur inneren Summe
\( = \sum_{i=1}^{n} (b_i \cdot (\sum_{k=i}^{n} a_k) + a_{n+1} ) + b_{n+1}a_{n+1} = \sum_{i=1}^{n} (b_i \cdot (\sum_{k=i}^{n} a_k)) + \sum_{i=1}^{n} (b_i \cdot a_{n+1} ) + a_{n+1}b_{n+1} \)
Kommst du von hier weiter?
Grüße Christian
─ christian_strack 03.04.2019 um 22:40
induktionsanfang kriege ich noch hin, aber beim induktionsschritt verzweifle ich.
─ densch 03.04.2019 um 18:48Bei den doppelsummen komme ich durcheinander durch das n+1 :-/