Hallo,

der Betrag ist der Abstand einer komplexen Zahl zum Koordinatenursprung. (Lässt sich gut in der Gaußschen Zahlenebene visualisieren).

Sei \(z:=a+bi\) (kartesische Koodinatenform) gegeben, so ist ihr Betrag definiert als \(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\).

Dies ist auch in Polarkoodinatendarstellung möglich. \(z:=re^{i\varphi}\). Hierbei entspricht \(r\) dem Betrag.

Für das Argument \(\varphi\) muss eine Fallunterscheidung getroffen werden:

\(\varphi=\begin{cases} \arctan\left(\frac{b}{a}\right)-\pi, & a,b < 0\\ -\frac{\pi}{2},& a=0,\,b<0\\ \arctan\left(\frac{b}{a}\right),& a>0\\ \frac{\pi}{2},& a=0,\, b >0\\ \arctan\left(\frac{b}{a}\right)+\pi, & a<0,\, b\geq 0 \end{cases}\)

Für 1): \(z_1=1+5i\) wäre \(r=\sqrt{26}\) und \(\varphi=\arctan(5)\).

a) (1+i)(3+2i) = 3+2i+3i+2i² = 3+ 5i + 22*(-1) = 1+5i -> Realteil = 1, Imaginärteil = 5

b) & c) funktionieren genau so :) 

Bei Betrag und Argrument kann ich leider nicht helfen.