Ich hab dir mal ein Video zur Integralrechnung von Daniel verlinkt.

Über das Video kannst du ja mal in die Playlist für Integralrechnung gehen und schauen. Das sollte zum Lösen der von dir genannten Aufgabe eigentlich reichen.

Schau mal her (eine Zeichnung hast du ja bereits? Das kann der Übersicht wegen nicht schaden!):

Um \(f(x) = x^4-6x^2+5\) zu integrieren müssen wir erst einmal wissen, in welchem Bereich. Dazu finden wir die Nullstellen. Nutze die Substitution als Hilfsmittel

\(f(x) = 0 \text{mit }u = x^2\)

\(u^2 - 6u + 5 = 0\)

... (überlasse ich dir)

\(x_{1,2} = \pm 1\)

\(x_{3,4} = \pm \sqrt 5\)

Wir sind nun am ersten Quadranten interessiert und berechnen die Fläche zwischen x = 0 und x = 1. Machen wir uns also ans integrieren in den besagten Grenzen.

\(\int_0^1 x^4 - 6x^2 + 5 \; dx = \left[\frac15x^5 - 2x^3 + 5x\right]_0^1 = \frac{16}{5} = 3,2\)

Der vierte Quadrant ist nun direkt unter dem ersten Quadranten (man zählt beginnend von oben rechts gegen den Uhrzeigersinn). Dieser Flächeninhalt, den wir berechnen sollen, ist nun "negativ orientiert". Wir müssen ihn betragsmäßig zum ersten Flächeninhalt addieren um den gesamten Flächeninhalt A2 zu erhalten. Davor noch eine kurze Überprüfung, dass wir keine weitere Nullstelle im Intervall x = 1 und x = 2 haben --> Blick auf \(sqrt{5} \approx 2,24\). Passt.

\(\int_1^2 x^4 - 6x^2 + 5 \; dx = \left[\frac15x^5 - 2x^3 + 5x\right]_1^2 = -\frac{14}{5} = -2,8\)

Nun beide Flächen betragsmäßig addieren:

\(A_{2} = |3,2| + |-2,8| = 6\)

Wir haben also ein Gesamtfläche von \(A_{2} = 6\).