Hey sv,

ich denke, dass es hier vielleicht eine gute Idee ist, dir die Art zur Berechnung von Konfidenzintervallen ("Vertrauensintervallen") zu zeigen, wie ich sie immer verwende - vielleicht ergibt sich die Lösung zu deiner Frage dann ganz automatisch. :)

Die Idee bzw. Aufgabenstellung zur Berechnung von Konfidenzintervallen ist eigentlich immer die Folgende:

"Berechne das Intervall unter einer Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion (Verteilungsfunktion), unter welchem ein bestimmter Bereich (= Wahrscheinlichkeit) vorhanden ist (z.B. 95 %)."

Die Größe dieses Konfidenzintervalls hängt also von der geforderten Größe (Prozentsatz) ab, was in der Regel durch die Sigma-Regeln (auch oft als "\(\sigma\)-Regeln" geschrieben) vorgegeben wird. Hiermit hängt dann ein Parameter (oft als \(z\) bezeichnet) zusammen, der zur Berechnung verwendet wird - dieser ist somit variabel, damit er an eine Fragestellung (d.h. Größe der Fläche unter der Verteilungsfunktion) angepasst werden kann.

Das zu berechnende Konfidenzintervall kann sowohl als

• "Trefferanzahl-Intervall" (z.B. wäre die Bedeutung hier dann "Zwischen 40 und 72 Teile einer Stichprobe müssen zutreffen, damit wir im Konfidenzintervall liegen.")

oder auch als

• "Wahrscheinlichkeits-Intervall" (z.B. wäre die Bedeutung hier dann "Die berechnete bzw. getestete (Stichproben-)Wahrscheinlichkeit muss zwischen 0,42 und 0,49 liegen, damit wir im Konfidenzintervall liegen."

angegeben werden, wobei in vielen Aufgabenstellungen meist das letztere "Wahrscheinlichkeits-Intervall" gefordert ist (die Anwendung eines bestimmten Intervall-Typs hängt oft davon ab, was man am besten in seinem Anwendungsbeispiel (quasi auf "Echte-Welt-Probleme" angewandt) konkret beschreiben möchte, sprich: "Möchte ich eine Anzahl oder eine Wahrscheinlichkeit beschreiben?").

Normalerweise fängt man mit einer Aufgabe immer bei einem Modell (Verteilungsfunktion, meist eine Binomialverteilung) an, für welches ein Ereignis \(X\) (z.B. eine Aussage wie "Ich ziehe 5 mal Rot." oder "Der Bogenschütze trifft 10 mal die Mitte der Scheibe."), eine Stichprobenanzahl \(n\) und eine Ereigniswahrscheinlichkeit \(p\) gegeben ist. Wichtige stochastische Kenngrößen, die man hiermit berechnen kann, sind dann der Erwartungswert \(E(X)\) (in deinem Fall als \(\mu\) bezeichnet) und die Standardabweichung \(\sigma\), die den Bereich um den Erwartungswert beschreibt und unmittelbar mit dem variablen Wert \(z\) zusammenhängt (damit also auch direkt mit dem Konfidenzintervall).

Der Erwartungswert gibt dir schlussendlich eine feste Trefferanzahl an, mit der zu rechnen ist (z.B. "Ich erwarte, dass ich 9 mal Rot ziehen werde." oder "Ich erwarte, dass der Bogenschütze 14 mal trifft.").

Man kann mit diesen paar Angaben aus einer Fragestellung folglich meist erst einmal

• nur ein Trefferanzahl-Intervall berechnen, dass man dann in ein Wahrscheinlichkeits-Intervall umrechnen muss,

oder

• eine Formel bzw. Gleichung nutzen, mit der sich das geforderte Wahrscheinlichkeits-Intervall direkt berechnen lässt (bei Schülern vermutlich beliebter, weil's schneller geht ;) ).

Für beide Arten zur Berechnung des Wahrscheinlichkeits-Intervalls ist allerdings zwingend die vorherige Berechnung des Erwartungswertes \(\mu\) und der Standardabweichung \(\sigma\) nötig, um die Werte einsetzen zu können (vorausgesetzt, man möchte nicht die Formeln für beides in die Gleichung einsetzen, was die Ausdrücke ein wenig größer macht).

Deine Fragestellung setzt an dem Punkt an, der zur Umrechnung zwischen dem Trefferanzahl-Intervall und dem Wahrscheinlichkeits-Intervall benötigt wird: hierzu muss man (zumindest bei einer Binomialverteilung) einfach durch die Stichprobenanzahl \(n\) teilen!

Ihr habt also wahrscheinlich immer nur Trefferanzahl-Intervalle berechnet - was übrigens der ersten Zeile in deinem Bild entspricht, während die letzte Zeile ein Wahrscheinlichkeits-Intervall beschreibt, erkennbar mit \(h\,=\,\) "relative Häufigkeit (rel. Hk.)" (d.h. eine Wahrscheinlichkeit (Dezimalzahl)\(\,\)).

Damit das vielleicht ein wenig klarer wird, hänge ich dir hier mal ein paar (theoretische) Ideen an, die das ggf. weiter beleuchten:

Und da Rechenbeispiele für sowas auch nie verkehrt sind, hier auch nochmal ein Beispiel mit \(n\,=\,100\) und \(p\,=\,0,3\), d.h. "Berechne das Konfidenzintervall mit einer Größe von 95 % und für die Annahme, dass 30 % der Schüler kein Mathe mögen (Ereignis \(X=\text{Mag keine Mathematik}\), Stichprobengröße \(n\,=\,100\) Schüler).".

Hier geht es dann also darum, das Wahrscheinlichkeits-Intervall zu bestimmen. Zur Erinnerung: man kann dieses

• über die vorherige Berechnung des Trefferanzahl-Intervalls (siehe Gleichung (1) oben) und anschließende Umwandlung (siehe Gleichung (5) bis (8) oben)

oder

• direkt über eine Gleichung / Formel (siehe letzte Gleichung (8) oben) berechnen.

In beiden Fällen ist - wie bereits erwähnt - die Berechnung des Erwartungswerts und der Standardabweichung nötig (oder zumindest empfehlenswert, damit die Gleichungen nicht zu groß werden).

Hier die gesamte Rechnung mit Einzelschritten und grafischer Veranschaulichung (direkte Berechnung des Wahrscheinlichkeits-Intervalls ganz unten):

Liebe Grüße! :)