Zur Aufgabe: Sei \( \Omega, F, P \) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Dann definiert \( d(X,Y) = \mathbb{E}[\min (1, |X_n - X | ) ] \) eine Halbmetrik. Zeigen Sie, dass \(X_n\) stochastisch gegen X konvergiert, genau dann, wenn \(X_n\) gegen X in der Halbmetrik d konvergiert.

Mein Ansatz: Ich denke, dass zumindest eine der beiden Richtungen nicht schwer ist, sofern ich das richtig verstanden habe. Wenn ich davon ausgehe, dass \(X_n\) stochastisch gegen X konvergiert, dann heißt das \(\lim_{n \to \infty} P(d(X_n,X) \geq \epsilon) = 0\) und somit, da P ein Maß, \( \{ X : d(X_n, X) \geq \epsilon\} = \emptyset\) und somit folgt direkt \( d(X_n,X) < \epsilon\), also die Konvergenz in der Halbmetrik. Für die andere Richtung habe ich leider noch keinen Ansatz.