Hallo,

da die Ebene in Koordinatenform gegeben ist, würde ich die Abstandsformel \(d(P;E)=\dfrac{|n_1p_1+n_2p_2+n_3p_3-d|}{|\vec{n}|}\) mit \(P(p_1|p_2|p_3)\) und \(E: n_1x+n_2y+n_3z-d=0\)

benutzen.

\(d(A;E)=\dfrac{|2\cdot 3+2a-2\cdot 0-4|}{\sqrt{2^2+1^2+(-2)^2}}=5 \;\therefore a_1=\dfrac{13}{2},\: a_2=-\dfrac{17}{2}\)

Weg mit Lotfußpunkt:

Gerade aufstellen, die mit P inzidiert:

\(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}3\\ 2a\\ 0\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}2\\ 1\\ -2\end{pmatrix}\)

Schnittpunkt zwischen E und g berechnen:

\(2(3+2\lambda)+(2a+\lambda)-2(-2\lambda)=4 \Leftrightarrow \lambda=-\dfrac{2a}{9}-\dfrac{2}{9}\)

Parameterwert in g einsetzen:

\(\vec{a}=\begin{pmatrix}3\\ 2a\\ 0\end{pmatrix} - \left (\dfrac{2a}{9}-\dfrac{2}{9}\right )\begin{pmatrix}2\\ 1\\ -2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{23-4a}{9}\\\frac{16a-2}{9}\\ \frac{4a+4}{9}\end{pmatrix}\)

Abstand zwischen dem "Punkt" und P berechnen:

\(d(A,P)=\sqrt{\left(\dfrac{23-4a}{9}-3\right)^2+\left(\dfrac{16a-2}{9}-2a\right)^2+\left(\dfrac{4a+4}{9}\right)^2}=\dfrac{2|a+1|}{3}\)

Alternativ direkt mit 5 gleichsetzen. 

Es resultieren in beiden Fällen die selben Ergebnisse.