Mach zweimal eine partielle Integration. Dann wirst du das Ursprungsintegral auf der "rechten" Seite wieder finden und kannst danach auflösen.

Sollte in etwa so aussehen:

Mit \(f = \cos(x)\) und \(g' = e^x\) (und damit \(f' = -\sin(x)\) und \(g = e^x\))

\(\int e^x \cos(x) \; dx = e^x\cos(x) + \int e^x\sin(x) \;dx\)

Gleiches Spiel nochmals:

Mit \(f = \sin(x)\) und \(g' = e^x\) (und damit \(f' = \cos(x)\) und \(g = e^x\))

\(= e^x\cos(x) + e^x\sin(x) - \int e^x\cos(x) \; dx\)

Nun sollte dir auffallen, dass das rechte Integral dem linken entspricht. Bringe das auf die andere Seite. Dann haben wir das ursprüngliche Integral doppelt. Division durch 2 führt dann zum Ergebnis ;).

\(\int e^x\cos(x) = \frac12 e^x(\sin(x)+\cos(x))\)