Hallo,

ich habe hier auch länger überlegt wie man den Beweis am besten angeht. 

Meinde Idee wäre die folgende.

Da \( \lim_{n \to \infty} a_n = a \) gilt, gibt es ein \( k \in \mathbb{N} \), ab dem alle Folgeglieder in der direkten Umgebung von \( a \) liegen. 

Wenn wir nun die Folge \( b_n = \frac 1 n \sum_i^n a_i \) gegen unendlich laufen lassen, dann haben unendlich viele Summanden den Wert \( a \) und nur endlich viele Werte liegen nicht in der direkten Umgebung.

Diese endliche Menge hat somit kaum Effekt auf den Grenzwert der Summe und wir erhalten 

\( \lim_{n \to \infty} \sum_i^n a_i = \lim_{n \to \infty} n \cdot a \)

Betrachten wir dann den Grenzwert von \( b_n \) erhalten wir

\( \lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} \frac 1 n \sum_i^n a_i =\lim_{n \to \infty} \frac 1 n \cdot n a = a \)

Ich denke das man muss man vielleicht noch etwas näher erleutern. Ich muss mir auch nochmal etwas Gedanken drüber machen. Aber vielleicht hilft dir das ja schon mal :)

Grüße Christian