Es ist unüblich \(i = \sqrt{-1}\) zu definieren und es gilt vielmehr \(i^2 = -1\).

Wenn man i aber nicht als komplexe Zahl, sondern als Variable verwendet, kann man durchaus \(i = 3\)  oder ähnliches wählen. \(i = \sqrt{-3}\) ist aber wie oben unschön. Meist erlauben Definitionen von Wurzeln keinen negativen Radikanden ist also undefiniert.

Hallo benniujb, 

ja, \(i\) ist (zumindest im Zusammenhang mit komplexen Zahlen und nicht als Variable im Sinne von Funktionen o.ä.) immer als \(i=\sqrt{-1}\) bzw.(wie oben erwähnt) als \(i^{2}=-1\) definiert - unschön oder nicht, beides ist zunächst äquivalent, also mathematisch ineinander überführbar.

Wenn man nun, wie in deinem Beispiel, \(\sqrt{-3}\) als komplexe Zahl formulieren möchte, dann kann man dies auch einfach mit

\(\sqrt{-3}=\sqrt{(-1)\cdot 3}=\sqrt{-1}\cdot \sqrt{3}=i\cdot \sqrt{3}=\sqrt{3}i\)

tun. Die Zahl \(i\) kann im komplexen Zahlenraum also immer dazu verwendet werden, Wurzeln jeglicher Art (mit negativer Zahl unter der Wurzel) zu beschreiben. Das macht auch Sinn, denn Mathematiker versuchen für verschiedene mathematische Gegebenheiten und Zusammenhänge eindeutige Gesetzmäßigkeiten zu finden, so dass sich die Beschreibung mit nur einer Zahl \(i\), die mit allem multipliziert werden kann, durchaus anbietet und die Dinge einfacher gestaltet. ;)

Beachte allerdings, dass die (rellen) Zahlenbestandteile \(x\) und \(y\) bzw. \(Re\{z\}\) und \(Im\{z\}\) einer komplexen Zahl

\(z=x+i\cdot y=Re\{z\}+i\cdot Im\{z\}\),

die nach der Zerlegung einer solchen "negativen" Wurzel mit \(i\) multipliziert werden, immer als Imaginärteil \(Im\{z\}\) bezeichnet werden (in deinem Fall die \(\sqrt{3}\)).

Realteile \(Re\{z\}\) werden nicht mit \(i\) multipliziert und entsprechen somit (auch, weil sie z.B. mit Wurzeln, die positive Zahlen enthalten, beschrieben werden können) den üblichen (reellen) Zahlen, die jeder so aus dem Alltag oder aus der Schulzeit kennt und die man im "normalen" \(x,y\)-Koordinatensystem plotten kann. Komplexe Zahlen werden in der Regel in der komplexen Zahlenebene und z.B. als Vektorpfeil / Zeiger mit Winkeln zwischen 0 und 360° dargestellt. 

Das ist aber ein anderes Thema. :o)

Liebe Grüße!