Hallo,

zuerst wendest du die Kettenregel an:

\(f'(x)=\cos \left (\dfrac{2\pi}{1+x^2} \right) \cdot \left [ \dfrac{2\pi}{1+x^2}\right ]'\),

wobei \(\left [\dfrac{2\pi}{1+x^2}\right ]'=2\pi\left [ \dfrac{1}{1+x^2}\right ]'=2\pi \cdot \left (-\dfrac{2x}{(x^2 + 1)^2}\right ) =-\dfrac{4\pi x}{(x^2 + 1)^2}\) 

Also lautet \(f'(x)=\cos \left (\dfrac{2\pi}{1+x^2} \right ) \cdot \left (-\dfrac{4\pi x}{(x^2 + 1)^2}\right )=-\dfrac{4{\pi}x\cos\left(\frac{2{\pi}}{x^2+1}\right)}{\left(x^2+1\right)^2}\)

Nun musst du hiervon die Nullstellen bestimmen (Zähler nullsetzen). 

\(4{\pi}x\cos\left(\frac{2{\pi}}{x^2+1}\right)=0 \Leftrightarrow x\cos\left(\frac{2{\pi}}{x^2+1}\right)=0\)

Satz vom Nullprodukt: \(x=0 \rightarrow x_1=0\)

\(\cos\left(\dfrac{2{\pi}}{x^2+1}\right)=0\) -> arccos nutzen:

\(\dfrac{2{\pi}}{x^2+1}=\pi n + \dfrac{\pi}{2}\) \((n\in \mathbb{Z})\) und das dann nach x auflösen

\(\longrightarrow x_{2,3}=\pm\sqrt{3},\: x_{4,5}=\pm\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)