Hallo,

in dem Fall hat man inhomgene DGL, weil links vom Gleichheitszeichen keine 0 sondern eine Funktion steht. Daher setzt man hier im ersten Schritt die linke Seite 0, das führt auf

\( y'+\frac{y}{x\ln{x}}=0\)

Jetzt ersetzt man y' durch \(\frac{dy}{dx}\) (und bringt gerade \(\frac{y}{x\ln{x}}\) noch auf die andere Seite):

\( \frac{dy}{dx} =- \frac{y}{x\ln{x}} \)

jetzt mutlipliziert man auf beiden seiten mit \(dx\) und bringt y auf die andere Seite:

\( \frac{dy}{y}= -\frac{dx}{x\ln{x}} \)

Die Gleichung integriert man auf beiden Seiten

\( \int \frac{dy}{y} =- \int \frac{dx}{x\ln{x}} \)

Das Integral rechts lässt sich per Substituion lösen, als Übung für dich notiere ich nur das Ergebnis:

-\( \int \frac{dx}{x\ln{x}} =- \ln{\ln{x}} \)

Wenn man jetzt noch nach y umstellt ergibt sich:

\( y = c \frac{1}{\ln{x}} \)

Soweit erstmal die Lösung der homogenen DGL. Bei einer Lösung einer inhomgenen, also solchen wo rechts noch was steht, ersetzt man die Konstante durch eine zu bestimmende Funktion c(x). Dafür leitet man y erst mal ab:

\( y= c(x) \frac{1}{\ln{x}} \)

\(y'=c'(x)\frac{1}{\ln{x}}+c(x) \frac{1}{x} \ln{x}^{-2}\)

Jetzt setzt man y und y' in die DGL oben ein:

\(c'(x)\frac{1}{\ln{x}}+c(x) \frac{1}{x} \ln{x}^{-2}+c(x) \frac{1}{x} \ln{x}^{-2}=\frac{2}{x}\)

\(c'(x)\frac{1}{\ln{x}}=\frac{2}{x}\)

Das kann man nach c'(x) umstellen und durch integrieren erhält man c'(x):
\(c'(x)=\frac{2 \ln{x}}{x}\)

\( c(x)= \ln{x}^2 +k \)

Also:

 \( y=  (\ln{x}^2+k) \frac{1}{\ln{x}} = \ln{x}+\frac{k}{\ln{x}} \)