Hallo,

\( - \sin(x+y) \cos(x-y) + \cos(x+y) \sin(x-y) \\ = -  \cos(x-y) \sin(x+y) + \sin(x-y) \cos(x+y)\\ = -  \cos(-(y-x)) \sin(y+x) + \sin(-(y-x)) \cos(y+x) \) 

Nun ist der Sinus Punktsymmetrisch und der Kosinus Achsensymmetrisch, also gilt

\( \cos(-x) = \cos(x) \\ \sin(-x) = - \sin(x) \)

Also erhalten wir

\( \Rightarrow  -  \cos(-(y-x)) \sin(y+x) + \sin(-(y-x)) \cos(y+x) \\ = -  \cos((y-x)) \sin(y+x) - \sin((y-x)) \cos(y+x) \)

Grüße Christian

also
-sin(x+y)cos(x-y)+cos(x+y)sin(x-y)
= -(sinx cosy + cosx siny)(cosx cosy + sinx siny) + (cosx cosy - sinx siny)(sinx cosy - cosx siny)
= -(sinx cosy cosx cosy + sinx cosy sinx siny + cosx siny cosx cosy + cosx siny sinx siny) + (cosx cosy sinx cosy - cosx cosy cosx siny - sinx siny sinx cosy + sinx siny cosx siny)
= (Kürzen) -( 2* sinx cosy sinx siny + 2* cosx siny cosx cosy)=-2*siny cosy (sinx sinx + cosx cosx)=-2 siny cosy (sin²x + cos²x)  DA {sin²x + cos²x = 1} IST = -2 siny cosy = sin(-2y)
DA {-sin(x)=sin(-x) und sin(2x)=2 sinx cosx}

das hätte ich jetzt "Kürzen" genannt, das oben ist in meinen Augen nicht stark vereinfacht, aber da kann man bestimmt auch irg wie drauf kommen, musst nur ausdauernd sein ;)

Hier paar Regeln mehr: https://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie#Additionstheoreme