Hallo,

du hast eigentlich schon die beiden Kriterien genannt, die untersucht werden müssen.

Die notwendige Bedingung ist eine Tangente, die parallel zur Abszissenachse ist, also f´(x)=0. Da mit dieser Bedingung keine Aussage über die Klasse der jeweiligen Stelle gemacht werden kann(die Stelle könnte immernoch eine Sattelstelle sein), wird ebenfalls die hinreichende Bedingung hinzugezogen: die 2. Ableitung der Funktion an dieser Stelle muss ungleich Null sein. Sind beide Bedingungen erfüllt, liegt eine Extremstelle bei x0 vor. Mit den Vorzeichen(-wechsel) der 2. (1.) Ableitung wird nur die jeweilige Art des Extremas klassifiziert.                           

Es gibt natürlich noch den Satz vom Maximum, der besagt, dass eine stetige Funktion f auf einem kompakten Intervall [a,b] eine Maxomal- bzw. Minimalstelle hat, aber ich denke nicht, dass er das meint.