Hey Joe,

zur Beantwortung dieser Frage möchte ich einfach noch einmal darauf eingehen, was eine Linearkombination im Sinne der Vektorrechnung eigentlich bedeutet.

Eine Linearkombination beschreibt immer den Umstand, dass neue Vektoren aus bzw. durch einzelne (andere) Vektoren beschrieben werden können.

Ein Beispiel hierfür ist - im mathematischen Sinne - die Addition von Vektoren (Vektoraddition), wie z.B. bei folgendem Vektor \(\vec{d}=\left(\begin{matrix}1&3&4\end{matrix}\right)^{T}\) ("hoch T" heißt hier transponiert, also "als Zeile(-nvektor) geschrieben"), der durch die Einzelvektoren \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) und \(\vec{c}\) dargestellt wird:

\(\vec{d}=\overbrace{\begin{pmatrix}2\\5\\1\end{pmatrix}}^{\vec{a}}+\underbrace{\begin{pmatrix}3\\4\\6\end{pmatrix}}_{\vec{b}}+\overbrace{\begin{pmatrix}-4\\-6\\-3\end{pmatrix}}^{\vec{c}}=\begin{pmatrix}1\\3\\4\end{pmatrix}\)

Wir können also neue Vektoren durch die Summe anderer Vektoren erzeugen - Anwendung findet dieses Vorgehen im Übrigen in Fächern wie der Physik, bei der (z.B. in der Kräftelehre / Mechanik) Kräfte gerichtet (d.h. in eine Richtung wirkend) und als Vektoren beschrieben werden können.

Eine Gesamtkraft \(\vec{F}\) kann dann etwa durch zwei Einzelkräfte beschrieben werden, die (im zweidimensionalen) sowohl durch eine Kraft \(\vec{F}_{x}\) in \(x\)-Richtung, aber auch durch eine Kraft \(\vec{F}_{y}\) in \(y\)-Richtung beschrieben wird:

In der Schule lernt man dies in der Oberstufe (normalerweise) im 3-Dimensionalen kennen, so dass die Vektoren - passend zu unserer realen Welt - mit 3 Zeilen (für die Richtungen \(x\), \(y\) und \(z\)), anstelle von 2 Zeilen, beschrieben werden.

Ein Vektor selbst hat 2 grundlegende Eigenschaften, die ihn komplett definieren:

1. Ein Vektor hat eine Richtung (= seine Vektorkomponenten, z.B. die Zahlen des Vektors \(\vec{d}\)).
2. Ein Vektor hat eine Länge (= das "Gewicht" bzw. der "Wert" des Vektors, auch Betrag genannt; z.B. analog zur Kraft: je länger der Vektor, desto größer die Kraft, die er repräsentiert).

Wir können also die Vektoren im Beispiel oben auch mit Zahlenwerten multiplizieren, was deren Länge verändert (und damit den Betrag bzw. das "Gewicht" der Vektoren am resultierenden Gesamtvektor):

Oder auch so:

Ganz egal, ob ich die Vektoren also mit Zahlen multipliziere oder nicht: die Addition von Vektoren (und damit die Aneinanderreihung der Vektoren, um einen neuen Vektor zu erzeugen) wird als Linearkombination bezeichnet;

• "linear"(skaliert / verkürzt / verlängert), weil ich Vektoren "linear" mit Zahlen multiplizieren kann und
• "Kombination", weil ich Einzelvektoren durch Addition (= "mathematische Kombination") zu einem Gesamtvektor kombinieren bzw. verrechnen kann.

Die Frage ist nun: Wieso ist das für deine ursprüngliche Fragestellung relevant?

Bestimmte Probleme, die man (im späteren Arbeitsalltag vielleicht) lösen möchte, haben z.B. mit dreidimensionalen Objekten zu tun, die es zu beschreiben gilt. Ein Beispiel könnte hier die Vermessung eines Landstücks, die Beschreibung von Lichtstrahlen im Raum oder auch die (ziemlich komplexe) Beschreibung von (Quanten-)Zuständen eines Atoms (bzw. der im Atom vorhandenen Elektronen) sein.

In der Schule (oder Universität / Hochschule) lernt man zur Beschreibung dieser Probleme meist zunächst die Beschreibung von 3-D Objekten kennen, darunter vor allem Geraden und Ebenen im Raum. Wenn man nun Beziehungen zwischen diesen Objekten (z.B. dessen Lagebeziehungen, Abstände, Schnittpunkte, Schnittgeraden oder Schnittwinkel) beschreiben möchte, benötigt man Standardverfahren - und eines dieser Verfahren ist die Anwendung von Vektoren und das Lösen eines (linearen) Gleichungssystems, um das jeweilige Problem zu beschreiben und anschließend zu lösen.

Dies' kommt daher, dass man die Vektoraddition auch als Einzelgleichungen (und diese ggf. wiederum als Matrixschreibweise) formulieren kann, wie z.B. mit folgenden Vektoren und den Variablen \(x\) und \(y\) als Skalierungsfaktoren (variable Verlängerung / Verkürzung):

In höheren Dimensionen (= Zeilenanzahl der Vektoren) vergrößert sich selbstverständlich die Anzahl der Zeilen in der geschweiften Klammer (I. / II. ...; Lösung z.B. mittels Additions- oder Subtraktionsverfahren) oder damit auch die Matrix, die es am Ende zu lösen gilt (Lösung z.B. mittels Gauss-Algorithmus), was die passenden Zahlen ("Lösungen") für \(x\) und \(y\) beeinflusst, die gefunden werden können und die alle Gleichungen gleichzeitig erfüllen.

Hierbei kann es aber auch vorkommen, dass die Matrix "über-" bzw. "unterdefiniert" (zu viele bzw. zu wenig Zeilen, Mathematiker sprechen auch hier z.B. auch vom "Rang der Matrix") ist oder dass sich einfach keine bzw. unendlich viele Lösungen für die Variablen \(x\), \(y\), \(a\), \(b\) usw. (je nachdem, wie man die Variablen halt gerade nennt) ergeben, so dass man dann entsprechend interpretieren muss.

Wie man nun aber Probleme löst, die mit der Interpretation dieser "Sonderfälle" zu tun haben, das ist eine andere Geschichte. :o)

Hoffe das bringt vielleicht ein wenig Licht in's Dunkle. ;)

Liebe Grüße!