Hallo,

es bietet sich an, die Wurzeln als Potenzen zu schreiben:

\(\dfrac{\left(4a(2a^3)^{1/4}\right)^{1/3}}{(8a)^{1/12}}\)

Dann ließe sich Nenner und Zähler erweitern:

Zähler:
\(\left(4a(2a^3)^{1/4}\right)^{1/3} = \left (4\cdot 2^{1/4}a^{3/4+1}\right)^{1/3} = 2^{3/4}\cdot a^{7/12}\)

Nenner:
\((8a)^{1/12} = 2^{1/4}\cdot a^{1/12}\)

Es verbleibt also

\(\dfrac{2^{3/4}\cdot a^{7/12}}{2^{1/4}\cdot a^{1/12}} = \dfrac{2^{3/4-1/4}a^{7/12}}{a^{1/12}} = \dfrac{2^{1/2}\cdot a^{7/12}}{a^{1/12}} = 2^{1/2}\cdot a^{1/2}=\sqrt{2}\sqrt{a}=\sqrt{2a}\)

insofern wir uns auf \(a > 0\) beschränken.

Ich würde es erst in Potenzschreibweise überführen:

\(\frac{(4a(2a^3)^{\frac14})^{\frac13}}{(8a)^{\frac{1}{12}}} \)

\(= \frac{(4a)^{\frac13}\cdot(2a^3)^{\frac14\cdot\frac13}}{(8a)^{\frac{1}{12}}} \)

\(=\frac{(2^2a)^{\frac13}\cdot(2a^3)^{\frac{1}{12}}}{(2^3a)^{\frac{1}{12}}} \)

\(= \frac{2^{\frac23}a^{\frac13}2^{\frac{1}{12}}a^{\frac14}}{2^{\frac14}a^{\frac{1}{12}}}\)

\(= 2^{\frac23+\frac{1}{12} - \frac14}\cdot a^{\frac13+\frac14-\frac{1}{12}} \)

\(= 2^{\frac12}\cdot a^{\frac12} = \sqrt{2a}\)