Hallo,

es wäre nett wenn du deine Frage etwas ausführen könntest. 

Die Definition eines totalen Differentials für eine Funktion \( f(x,y,z) \) ist

\( df = \frac {\partial f} {\partial x} dx + \frac {\partial f} {\partial y} dy + \frac {\partial f} {\partial z} dz \) 

Die Grenzwertbildung passiert dann vermutlich in den partiellen Ableitungen?

Grüße Christian

Oh es tut mir sehr Leid die Antwort muss mir durch gegangen sein.

Wir können die Funktion \( df : h \to f(p+h) - f(p) \) linear approximieren mittels Taylor. 

Das bedeutet wir approximieren bis zur ersten Ordnung. Im mehrdimensionalen bedeutet das aber gerade

\( f(x_0) \approx f(x_0) + grad \ f(x_0) \cdot (x-x_0) \)

Mit 

\( grad \ f(\vec{x}) = \begin{pmatrix} \frac {\partial f} {\partial x} \\ \frac {\partial f} {\partial y} \\ \frac {\partial f} {\partial z} \end{pmatrix} \)

Siehst du schon die Ähnlichkeit zum obigen Ausdruck?

Approximieren wir mal die Funktion \( f(p+h) \) um den Entwicklungspunkt \( p \)

\( f(p+h) \approx f(p) + grad \ f(p) (p+h-p) = f(p) + grad \ f(p) \cdot h \)

Für \( df \) gilt 

\( df = f(p+h ) - f(p) \)

Also erhalten wir

\( f(p+h) - f(p) \approx f(p) + grad \ f(p) \cdot h - f(p) = grad \ f(p) \cdot h \)

Nun ist \( h\) genau unsere Änderung

\( h =  \begin{pmatrix} dx \\ dy \\ dz \end{pmatrix} \)

Also bekommen wir nach auflösen des Skalarproduktes

\( df = \frac {\partial f} {\partial x} dx + \frac {\partial f} {\partial y} dy + \frac {\partial f} {\partial z} dz \)

Grüße Christian