Hallo,
bei deinem Konvergenzradius sollte keine Abhängigkeit von \( z \) auftreten, da er ja beschreibt in welchem Bereich für \(z \) die Reihe konvergiert.
Für a) würde ich die Formel von Cauchy-Hadamard benutzen.
\( r= \frac 1 {\limsup_{n\to \infty} \sqrt[n]{\vert a_n \vert}} \\ \Rightarrow r = \frac 1 {\limsup_{n\to \infty} \sqrt[n]{ (1 + \frac 1 n )^{-n^2}}} = \frac 1 {\limsup_{n \to \infty} (1+ \frac 1 n ) ^{-n} } \)
Nun wollen wir wissen, was der größte Häufungspunkt von \( (1+ \frac 1 n )^-n \) ist. Diese Folge konvergiert sogar und ist eine der berühmtesten Folgen. Kennst du den Grenzwert?
Zur b)
Für den Konvergenzradius brauchen wir eine Reihe der Form
\( \sum_{k=1} a_k z^k \).
Wir müssen also unsere Folge \( a_n \) so anpassen, das wir \( z^k \) erhalten.
Man nennt eine Reihe Lückenreihe. wenn in unsere Reihe unendliche viele Summanden Null sind. Das haben wir auch, da
\( \sum_{n=1} \frac {(-4)^n} {n} z^{4n} = 0 z^1 + 0 z^2 + 0 z^3 + \frac {-4} 1 z^4 + 0 z^5 + 0 z^6 + 0 z^7 + \frac {(-4)^2} 2 z^8 + 0 z^9 + \ldots \)
Das liegt an dem Exponenten von \( z \). Nun basteln wir eine neue Folge
\( a_k = \left\{ \begin{matrix} \frac {(-4)^{\frac k 4}} {\frac k 4 } \ , \ \text{für } k =4n , \text{mit } n \in \mathbb{N} \\ 0 \ , \ \text{sonst} \end{matrix} \right. \)
Nun haben wir eine Reihe der Form \( \sum_{k=4}^{\infty} a_k z^k \) die äquivalent ist zu unserer ersten.
Kannst du von der Folge nun die Häufungspunkte bestimmen?
Diesen Gedanken können wir aber auch in der Formel von Cauchy-Hadamard direkt darstellen.
Normalerweise ziehen wir in der Formel die n-te Wurzel. Nun ziehen wir einfach die 4n-te Wurzel, also
\( r = \frac 1 {\limsup_{n \to \infty} \sqrt[4n]{\vert a_n \vert} } \)
Genau um die Konvergenz auf dem Rand zu überprüfen, musst du den Rand einsetzen und einzelnd nochmal überprüfen.
Grüße Christian
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vielen Dank für die ausführlichen Antworten!
Bei der (a) ist der Rand dann 1/e oder e? Ich bin eher für 1/e, aber wegen ersterer Antwort etwas verwirrt.Wenn ich 1/e in die Reihe einsetze, ergibt sich, dass die Reihe divergiert. (n+1/(n^3 * e^n)) ist da mein Ergebnis für die Reihe. Kann das stimmen?
Bei der (b) scheitere ich an der Berechnung des limes superior .Wie genau setze ich da a_n ein mit der Aufteilung, die du oben gemacht hast?
─ tisterfrimster 01.06.2019 um 14:22