Hallo,

wir wollen wissen wie viele Schritte wir im Mittel von dem Zustand \( j \) in den Zustand \( i \) benötigen. Diese nennen wir \( m_{ij} \).
Die Wahrscheinlichkeit von einem Zustand \( j \) in den Zustand \( i \) zu gelangen, ist \( p_{ij} \). Nun haben wir aber auch die Möglichkeit in einen anderen benachbarten Zustand \( k \neq i \) zu gelangen. Da wir dann im Zustand \( k \) sind haben wir vom Zustand \( j \) bereits einen Schritt gemacht und brauchen von da dann noch \( m_{ik} \) (Die mittlere Anzahl an Schritten vom Zustand \( k \) in den Zustand \( j \)) weitere Schritte. Also insgesammt\( (1+ m_{ik}  ) \) Schritte. 
Diese Möglichkeit passiert mit der Wahrscheinlichkeit \( p_{kj} \)

Dies zusammen ergibt 

\( m_{ij} = p_{ij} + \sum_{k \neq i} p_{kj} (1+ m_{ik} ) = p_{ij} + \sum_{k \neq i} p_{kj} + \sum_{k \neq i} p_{kj} m_{ik} \)

Nun gilt aber

\( p_{ij} + \sum_{k \neq i} p_{kj} = \sum_k p_{kj} = 1 \)

denn die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ergibt immer 100%=1.

Also erhalten wir

\( m_{ij} = 1 + \sum_{k \neq i} p_{kj} m_{ik} \)

Beziehen wir das nun auf einen Randpunkt, so gilt die selbe Überlegung. 

Grüße Christian