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Hallo,
wenn \( x_n := \frac {f_n} {f_{n+1}} \), dann gilt auch
\( x_{n+1} = \frac {f_{n+1}} {f_{n+2}} = \frac {f_{n+1}} {f_{n+1}+ f_n} = \frac {f_{n+1}} {f_{n+1}(1+ \frac {f_n} {f_{n+1}})} = \frac 1 {1+x_n} \)
Damit haben wir eine Rekursion gefunden.
Nun weiß ich nicht was in Aufgabe 17 passiert ist. Mit der Formel von Euler ist das Quotientenkriterium für Reihen gemeint oder? Wenn wir dieses hier anwenden erhalten wir
\( r = \lim_{n \to \infty} \vert \frac {a_n} {a_{n+1}} \vert = \lim_{n \to \infty} \vert \frac {f_{n+1}} {f_{n+2}} \vert = \lim_{n \to \infty} \vert x_{n+1} \vert \)
Grüße Christian
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christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
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Perfekt :)
Bin gerade noch unterwegs. Mir fällt hier auf dem ersten Blick die geometrische Reihe ein. Werde das nachher nochmal durch rechnen. Vielleicht hilft dir das ja schon. ─ christian_strack 02.06.2019 um 16:51
Bin gerade noch unterwegs. Mir fällt hier auf dem ersten Blick die geometrische Reihe ein. Werde das nachher nochmal durch rechnen. Vielleicht hilft dir das ja schon. ─ christian_strack 02.06.2019 um 16:51
Ich habe die Umformung auf Wikipedia gefunden und konnte die Aufgabe lösen! Trotzdem noch einmal vielen Dank.
─
tisterfrimster
03.06.2019 um 15:15
Sehr gerne :)
─
christian_strack
05.06.2019 um 14:36
In Aufgabe 17 wurde nämlich genau die rekursive Form behandelt, die für x_n+1 oben herauskommt. Den Grenzwert hatten wir damals praktischerweise auch ermittelt, sodass ich nur noch abschreiben muss.
Einziges Problem ist jetzt noch der zweitere Teil. Die Bedingung bedeutet ja, dass f(z) konvergiert. Ich habe versucht, das gewünschte Ergebnis rückwärts umzuformen, um eventuell Erkenntnisse zu gewinnen. Ich erhalte dann die Reihe mit a_n = z^n * (1+z)^n, woraus ich nicht wirklich eine Erkenntnis gewinnen kann. Wie fange ich die Umformung am besten an? ─ tisterfrimster 02.06.2019 um 15:30