Hallo!

Stelle Dir irgendeine Funktion vor – z.B. eine Normalparabel (\(f(x) = x^2\)). Wähle Dir irgendeinen Punkt auf dieser Funktion aus, z.B. \(A\big(2,f(2)\big) \widehat{=} A(2,4)\). Nun muss man versuchen einen Tangente an diesen Punkt zu legen, also eine „Linie“, welche nur diesen Punkt berührt. Diese Tangente ist eine lineare Funktion und hat die allgemeine Darstellungform \(t(x) = m\cdot x + t\). Mit Hilfe der ersten Ableitung einer Funktion, in unserem Beispiel \(f'(x) = 2x\), wissen wir aber die Steigung \(m\) in diesem Punkt, nämlich \(f'(2) = 4\). Das heißt, wollen wir eine Tangente an den Punkt \(A\) legen, so hat diese die besagte Steigung.

Hier die Tangentengleichung:

\(t(x) = 4x-4\).

Im Plot sieht es folgendermaßen aus:

https://imgur.com/5ZPPoxx

Normalerweise hat man den Differenzenquotienten bestimmt, um an das \(m\) zu kommen, also

\(\displaystyle \frac{f(x)-f(y)}{x-y} \).

Da dieser aber nur eine durchschnittliche Steigung und keine punktuelle wiedergibt, würde die Tangente zwei Punkte schneiden – also wäre sie eine Sekante. Nun hat man sich überlegt, dass man den einen Punkt einfach möglichst nah an den anderen „wandern“ lässt und so die exakte Steigung in diesem speziellen Punkt hat, also gemäß

\(\displaystyle \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \)

oder in einer anderen, äquivalent, Darstellung, welche etwas gebräuchlicher und leichter im Umgang ist:

\(\displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \).

Gruß.

Mit der/den Ableitung(en) kannst du u.a. den Verlauf einer Funktion im gesamten Wertebereich nachvollziehen.

Stichwort:Kurvendiskussion

In der Mechanik und Physik sind die Ableitungen ein sehr wichtiges mathematisches Instrument.
Die erste Ableitung des Weges nach der Zeit s(t) ist zum Bespiel die Geschwindigeit v(t).