Hallo!

Rechne Folgendes:

\(\displaystyle \sqrt{-64} = \pm i\cdot 8 = 8\cdot\exp\left(i(2k+1)\frac{\pi}{2}\right) \) mit \(\displaystyle k\in\mathbb{Z} \).

Anmerkung: Die exponentielle Schreibweise folgt ja unmittelbar daraus.

Für den Teil mit dem ganzzahligen, ungeraden Vielfachen von \(\displaystyle \frac{\pi}{2} \) kannst Du Dir den Einheitskreis ins Gedächtnis rufen und stellst dann fest, dass der Punkt dann immer auf der \(\displaystyle y \)-Achse liegt, also auf der komplexen Achse (Gaußsche Zahlenebene). Da das Vorzeichen irrelevant ist (wegen \(\displaystyle (\cdot)^2 \)), folgt daraus die Behauptung (ganzzahlig bedeutet auch: in beide Richtungen „drehen“ zu können).

Gruß.