Hallo!

Wende einfach dei Partialbruchzerlegung an. Zunächst faktorisierst Du den Zähler (Satz von Vietta) und erhälst folgenden Ausdruck:

\(\displaystyle x^2+x-2 = (x+2)(x-1) \).

Nun rechnest Du Folgendes:

\(\displaystyle x\cdot\frac{x^2-2}{(x+2)(x-1)} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-1} \)

Wir lassen hier das \(\displaystyle x \) weg und multiplizieren es nachher wieder dran.

\(\displaystyle  x^2-2 = Ax - A + Bx + 2B = (A+B)x - A + 2B\),

wobei Du für \(\displaystyle x \) verschiedene Werte einsetzt ([möglichst] geschickt gewählt natürlich).

Bspw. \(\displaystyle x=1 \):

\(\displaystyle -1 = 3B \quad\Longleftrightarrow\quad -\frac{1}{3} = B \).

Dann \(\displaystyle x = 0 \):

\(\displaystyle 2B - A = -2 \quad\Longleftrightarrow\quad A = 2 + 2B = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3} \).

Schlussendlich also:

\(\displaystyle x - \frac{1}{3(x-1)} +  \frac{4}{3(x+2)} - 1 \).

Dies sollte keine Probleme bei der Integration geben (achte aber ggf. auf die Grenzen)!

Gruß.