Hallo,

für die Ableitung einer Funktion \(f(x):=a^{g(x)}\) lautet die Ableitung: \(f'(x)=a^{g(x)}\cdot g'(x) \cdot \ln(a)\)

Daher ist die Ableitung von \(e^x\) immer gleich. \([e^x]' = e^x \cdot [x]' \cdot \ln(e) = e^x\cdot 1 \cdot 1 = e^x\)

Bei \( \left (\dfrac{2}{3} \right )^x\) lautet die Ableitung demnach \(\left (\dfrac{2}{3} \right )^x \cdot 1 \cdot \ln\left ( \dfrac{2}{3} \right ) = \left (\dfrac{2}{3} \right )^x \ln \left (\dfrac{2}{3} \right )\).

Eine andere Möglichkeit wäre die Basenumwandlung zur Basis \(e\).

Es gilt: \(a^x \equiv b^{x \cdot \log_b(a)}\)

Somit gilt \( \left (\dfrac{2}{3} \right )^x \equiv e^{x \cdot \ln \left (\frac{2}{3}\right )}\)

Das Ergebnis ist aber wieder das gleiche.

Hallo!

\(\displaystyle a^x = \mathrm{e}^{x\cdot\ln(a)} \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} a^x = \ln(a)\cdot a^x \).

Nun musst Du nur noch Deine Zahlen einsetzen und bei der letzten Funktion die Faktorregel berücksichtigen.

Gruß.