Hallo,

Abstandsberechnung mithilfe des Satz des Pytagoras:

\(d(O;P) = \sqrt{P_x^2+P_y^2}\)

Nun haben wir die Funktion \(y=\dfrac{2}{x}\) gegeben, weshalb wir die Variable \(y\) ersetzen können. Die Zielfunktion lautet also:

\(Z(x)=\sqrt{P_x^2+\left (\frac{2}{x} \right)^2}\)

Gesucht ist nun das Minimum, also ableiten und nullsetzen:

\(Z'(x)=0 \rightarrow x_{1,2}=\pm \sqrt{2}\)

Einsetzen in die 2. Ableitung ergibt für beide x-Werte:

\(Z''(x_1)=Z''(x_2)=2 > 0 \Longrightarrow \textrm{Minimum}\)

Da \(y(x)\) eine Zentralsymmetrie zum Ursprung aufweist, besitzt somit der Punkt (die Punkte) \(P\left(\pm \sqrt{2} \,| \pm \, y(\sqrt{2})\right )\) den geringsten Abstand (\(d=2\)).

Eine Skizze hilft im Übrigen bei der Aufgabenlösung.