Es ist folgendes Gleichungsystem mit Parameter a gegeben. Der Parameter soll so bestimmt werden, dass das LGS keine, genau eine, oder unendlich viele Lösungen gibt.

\(1x_{1} + 2x_{2} + 1x_{3} = 1\)

\(1x_{1} + 1x_{2} + 2x_{3} = 1\)

\(2x_{1} + 3x_{2} + 3x_{3} = a\)


Ich habe das LGS dazu in Zeilenstufenform gebracht:

\(1x_{1} + 2x_{2} + 1x_{3} = 1\)

\(0x_{1} + -1x_{2} + 1x_{3} = 0\)

\(0x_{1} + 0x_{2} + 0x_{3} = a-2\)

Jetzt kann man ablesen, dass wenn \(a \neq 2\) ist, das LGS keine Lösung hat, da die letze Zeile sonst nicht lösbar ist.

Außerdem kann man ablesen, dass wenn \(a = 2\) ist, das LGS unendlich viele Lösungen hat, da die letzte Zeile eine Nullzeile ist, bzw. der Rang von (A) gleich dem Rang der erweiterten Matrix (A,b) ist.

Aber wie kann ich a so bestimmen, dass es nur eine Lösung gibt?

Habe ich genau eine Lösung nicht schon durch die oberen Überlegungen ausgeschlossen?

Vielen Dank für Eure Hilfe!