Hallo!

Der Ansatz \(\displaystyle x(t) = \mathrm{e}^{\lambda t} \) liefert:

\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}x(t)+2.2x(t) = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad C\mathrm{e}^{-2.2t} \).

Nun kann man sich überlegen, dass man ja eine Konstante \(\displaystyle K \) folgendermaßen dazuaddieren kann:

\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(C\mathrm{e}^{-2.2 t}+K\right) + 2.2\left(C\mathrm{e}^{-2.2 t}+\frac{K}{2.2}\right) = 12 \quad\Longleftrightarrow\quad K = 12 \) und man somit zu der homogenen Lösung die partikuläre Lösung

\(\displaystyle \frac{12}{2.2} = 5.\overline{45} \) dazuaddieren kann.

Dies ist ein etwas heuristischer Ansatz, wo aber das Prinzip eigentlich klar sein sollte …

Gruß.