Gleichmäßige konvergenz von Funktionenreihen

Aufrufe: 1243     Aktiv: 22.06.2019 um 13:05
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Hallo,

ich soll bei der folgenden Funktionenreihe prüfen, ob sie gleichmäßig und ob sie punktweise konvergent ist:

\( \sum_{k=1}^{\infty} \frac {x} {k(1+kx^2)}\) auf R

die punkntweise konvergenz habe ich bereits. Jetzt weiß ich aber nicht genau, wie ich bei der gleichmäßigen vorgehen soll. Ich weiß wohl, dass man das prüfen kann, indem man sich \(sup\vert s_{n}(x) - s(x) \vert \) anguckt und wenn das gegen Null geht ist es gleichmäßig konvergent. Aber wenn ich jetzt für s(x) Null einsetzte ist es doch klar das es wieder gegen Null geht, da fn(x) ja auch gegen Null geht. Das kann es doch nicht sein, oder? 

 

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Hallo!

 

Es gilt

 

\(\displaystyle \left\vert\frac{x}{k(1+kx^2)}\right\vert = \left\vert\frac{x}{k+k^2x^2}\right\vert < \left\vert\frac{x}{k^2x^2}\right\vert = \frac{1}{\vert x\vert}\cdot\frac{1}{k^2} \).

 

Da die \(\displaystyle  \zeta(2)\) Reihe gleichmäßig konvergiert, so gilt nach dem Weierstraßschen Majorantenkriterium, dass auch Deine Ursprungsreihe gleichmäßig konvergiert, und zwar für alle reellwertigen \(\displaystyle  x\) (die Ursprungsreihe erlaubt \(\displaystyle  x=0\), dann konvergiert die Reihe gegen \(\displaystyle  0\). Für \(\displaystyle  x=1\) gegen 1 usw.).

 

Gruß.

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Vielen dank schonmal. Eine Frage hätte ich aber noch: Woher weiß ich , dass \( \frac{1}{\vert x\vert}\cdot\frac{1}{k^2} \) gleichmäßig konvergiert?
  ─   joline 17.06.2019 um 11:53
Nun, \(\displaystyle \frac{1}{\vert x\vert}\) ist nur eine Konstante und die \(\displaystyle \zeta(\sigma + it)\) gleichmäßig und absolut konvergent (Näheres hier: http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~forster/v/zeta/RZF_chap02.pdf) ist. Die Konstante kannst Du dann bei der Abschätzung sowieso rausziehen …   ─   einmalmathe 17.06.2019 um 13:24

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