Hallo!

Es gilt:

\(\displaystyle \lim_{x\to 0}\ln(1+x) = x \quad\Longleftrightarrow\quad \lim_{x\to 1}\ln\big(1+\underbrace{(x-1)}_{\to 0}\big) = x-1 \) (auf die Landauschreibweise wurde hier wegen der Übersichtlichkeit verzichtet).

Außerdem:

\(\displaystyle  \sin(x) = x + \cdots\), da aber \(\displaystyle  \lim_{x\to 1}\sin(\pi x) = 0\) und \(\displaystyle  \lim_{x\to 0}\sin(x) = 0\), muss man die Reihendarstellung dementsprechend anpassen zu (wir müsssen also sozusagen das ganze Argument nehmen und es um \(\displaystyle  1\) nach rechts verschieben):

\(\displaystyle  \sin(\pi x) = -\pi(x-1)\) (Das Vorzeichne kommt von der Taylorentwicklung, da die ersten beiden Glieder wie foltgt lauten: \(\displaystyle  \underbrace{\sin(\pi\cdot 1)}_{=0} + \pi \underbrace{\cos(\pi \cdot 1)}_{= -1}(x-1)\) [mit \(\displaystyle  x_0 = 1\)]).

Gruß.

Hallo,

das wäre ein Kanidat für die Regle von L'Hospital, die wendet man an wenn man unbestimmte Ausdrücke hat, also sowas wie \( \frac{0}{0} \) , \(  \frac{\infty}{\infty} \) oder auch  \( \frac{0}{\infty} \). Sie lautet:

\( \lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} \). Man bildet also die Ableitung vom Zähler und Nenner und schaut ob man einen vernünftigeren Ausdruck kriegt (falls nicht nochmal anwenden, das geht inuktiv). Beispiel: Gesucht ist der Grenzwert von der Funktion \( f(x)= \frac{\sin{x}}{x} \) für \( x \rightarrow 0 \). Das ist ein unbestimmter Ausdruck, also nutzen wir die Regel von L'Hospital:

\( \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin{x}}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos{x}}{1} =   \lim_{x \rightarrow 0} \cos{x} = 1 \)

Wie lautet es dann auf dein Beispiel angewendet?