Hallo die Unbekannten kannst du wie folgt herausfinden. Deine Anfangsgleichungen sind
$$x_1+x_4=5$$
$$x_2+ax_3=2+3a$$
$$bx_1+x_2+x_3+x_4=b+9$$
$$ax_3+x_4=4+3a$$
Aus der ersten Gleichung folgt:
$$x_4=5-x_1$$
Damit kannst du \(x_4\) eliminieren:
$$x_2+ax_3=2+3a$$
$$bx_1+x_2+x_3+5-x_1=b+9$$
$$ax_3+5-x_1=4+3a$$
Aus der zweiten Gleichung folgt:
$$x_2=2+3a-ax_3$$
Damit kannst du \(x_2\) eliminieren:
$$bx_1+2+3a-ax_3+x_3+5-x_1=b+9$$
$$ax_3+5-x_1=4+3a$$
Jetzt kann man erstmal aufräumen:
$$(b-1)x_1+(1-a)x_3=b-3a+2$$
$$ax_3-x_1=3a-1$$
Aus der unteren Gleichung folgt:
$$x_1=ax_3-3a+1$$
Somit kannst du \(x_1\) eliminieren:
$$(b-1)(ax_3-3a+1)+(1-a)x_3=b-3a+2$$
Erste Vereinfachung:
$$(abx_3-3ab+b)+(-ax_3+3a-1)+(1-a)x_3=b-3a+2$$
Zweite Vereinfachung:
$$(abx_3)+(-ax_3)+(1-a)x_3=3ab-6a+3$$
Dritte Vereinfachung:
$$(ab-2a+1)x_3=3(ab-2a+1)$$
Somit gilt:
$$x_3=3$$
Es folgt direkt:
$$x_1=1$$
Damit widerum folgt:
$$x_2=2$$
Somit gilt:
$$x_4=4$$
Eingesetzt in die Anfangsgleichungen:
$$x_1+x_4=5$$
$$x_2+ax_3=2+3a$$
$$bx_1+x_2+x_3+x_4=b+9$$
$$ax_3+x_4=4+3a$$
gilt:
$$1+4=5$$
$$2+3a=2+3a$$
$$b+2+3+4=b+9$$
$$3a+4=4+3a$$
Passt also alles :)
Somit ist die Lösung:
$$(x_1,x_2,x_3,x_4)=(1,2,3,4)$$
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