Hallo!

\(\displaystyle  \sum_{k=0}^{n}q^k = \frac{1-q^{n+1}}{1-q} = \frac{q^{n+1}-1}{q-1}\) … Ich glaube, dass Du die Formel falsch aufgestellt hast …

\(\displaystyle \frac{a^x+b}{a^x+c} = y \quad\Longleftrightarrow\quad (1-y)a^x = cy-b \quad\Longleftrightarrow\quad x = \log_{a}\left(\frac{cy-b}{1-y}\right) \).

Gruß.

Nein ich habe die Formel eigentlich richtig aufgestellt, Rentenendwertformel in dem falle. Ausder Aufgabenstellung geht heraus das XY sich 2000€ bei einem "Guthaben" von 20831,55€ über einen unbekannten Zeitraum X  auszahlen lassen will. 

dementsrpechend habe ich die Daten in die Formel eingefügt und muss ja jetzt dann nach X auflösen und genau da liegt mein Problem..

PS habe mich verschrieben auf dem Bild  es sind 20831,55€!

Also das minus eins bezieht sich nicht auf das X direkt sondern auf das 1,04^x als "Term" an sich ne:D

Hier die Formel 

https://www.youtube.com/watch?v=mNHZzA1O5UY

Hallo,

machen wir es doch einfach allgemein, dann kannst du beliebige Werte einsetzen:

$$a=b\cdot\frac{d^x-1}{d^x\cdot c}$$

Erstmal die Zahlen von rechts nach links multiplizieren:

$$\frac{ac}{b}=\frac{d^x-1}{d^x}$$

Jetzt kannst du den Teil mit dem \(x\) nach drüben multiplizieren, damit kein \(x\) mehr im Nenner steht:

$$\frac{ac}{b}\cdot d^x=d^x-1$$

Jezt noch das andere mit dem \(x\) subtrahieren:

$$\frac{ac}{b}\cdot d^x-d^x=-1$$

Mithilfe des Distribtivgeseztes \(d^x\) ausklammern:

$$\Bigl(\frac{ac}{b}-1\Bigr)\cdot d^x=-1$$

Jezt kannst du den Vorfaktor nach rechts bringen:

$$d^x=-\frac{1}{\bigl(\frac{ac}{b}-1\bigr)}$$

Jetzt kann man noch Schönheitskorrekturen auf der rechten Seite durchführen, indem man mit \(-b\) erweitert:

$$d^x=\frac{b}{(-ac+b)}$$

Als Letztes noch den Logarithmus zur Basis \(d\) ziehen:

$$x=\log_d\biggl(\frac{b}{b-ac}\biggr)$$

Wenn du jetzt die Zahlenwerte \(a=20831.55, b=2000,c=0.04\) und \(d=1.04\) einsetzt, erhälst du:

$$x=13.74...$$

Da die Laufzeit meistens ganzzahlig ist, folgt:

$$x=14$$

Ich hoffe, dass es dir so klar geworden ist! :)