Hallo,

da gibts ein paar Möglichkeiten. Du könntest ganz stumpf hingehen und die Rotation einfach ausrechnen (und nachrechnen das sie zu 0 wird). Man muss aber nicht explizit \( \text{rot} \) nachrechnen. Manchmal kann man sich auch überlegen das stetige Differenzierbarkeit erfüllt ist und die partiellen Ableitungen vertauschen (dann folgt sofort  \( \text{rot}(A) =0 \), für ein Vektorfeld \( A \).

Ein Gradient vom Vektorfeld würde dir hier nicht weiterhelfen. Du meinst vermutlich zu zeigen, dass das Vektorfeld Gradient eines Skalarfeldes ist. Das würde gehen. Es gilt nämlich für ein Skalarfeld \(\phi \) \( \text{rot}({\text{grad}({\phi}}))=0 \) und \( \text{grad}({\phi}) \) ist ja gerade das zu untersuchende Vektorfeld.