a)

Die Vektoren sind komplanar, wenn gilt: \(\begin{pmatrix}0\\ x\\ 1\end{pmatrix}=a \begin{pmatrix}1\\ 2\\ 3\end{pmatrix}+ b\begin{pmatrix}0\\ 1\\ 5\end{pmatrix}\)

Aufgelöst (z.B. mithilfe eines LGS) ergibt sich \(x=0.2\).

b)

Der aus dem Vektorprodukt beider Vektoren (\(\vec{a},\vec{b}\)) resultierende Vektor ist der Normalenvektor der aufgespannten Ebene. In diesem Fall \(\vec{n}=\begin{pmatrix}7\\-5\\ 1\end{pmatrix}\). Damit nun der Vektor orthogonal zur Ebene steht, muss er ein Vielfaches des NV sein.

\(\begin{pmatrix}7\\-5\\ 1\end{pmatrix}=a \begin{pmatrix}0\\x\\ 1\end{pmatrix}\)

Dies ist allerdings nie der Fall.

c)

Wie bei AT b, lautet der Normalenvektor der Ebene, die durch \(\vec{a}\) und \(\vec{c}\) aufgespannt wird: \(\vec{n}=\begin{pmatrix}1\\2\\ 3\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0\\x\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2-3x\\-1\\ x\end{pmatrix}\).

Nun müssen NV und Vektor b auch kollinear sein, was auch nie der Fall ist.

Der genaue Wortlaut ist: bestimmen Sie x, so dass b senkrecht(orthogonal) auf einer von a und c aufgespannten Ebene steht

Vielen Dank für die Antworten!