"Das LGS liefert mir keine Lösung"
Entweder echt parallel (keine Lösung), identisch (unendlich viele Lösungen), oder windschief (keine Lösung).
"Wie ist die Vorgehensweise um eine Gleichung einer 3 Geraden zu Bestimmen die die Gerade 1 und 2 senkrecht schneidet ?"
Nutze als Richtungsvektor den aus dem Vektorprodukt der zwei RV resultierenden Vektor.
Bestimme dann den Verbindungsvektor der zwei Geraden: \(\vec{v}=\begin{pmatrix}1+2t\\ -1+2t\\ -1+t\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2-s\\ 9+2s\\ 2+3s\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1+s+2t\\ -10-2s+3t\\ -3-3s+t\end{pmatrix}\)
Nun muss dieser mit dem Skalarprodukt des jeweiligen RV gleich null sein:
\(\begin{pmatrix}-1+s+2t\\ -10-2s+3t\\ -3-3s+t\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}2\\ 3\\ 1\end{pmatrix} =0 \Longrightarrow t = 0.5s + 2.5\)
\(\begin{pmatrix}-1+s+2t\\ -10-2s+3t\\ -3-3s+t\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}-1\\ 2\\ 3\end{pmatrix} =0 \Longrightarrow t=2s+4\)
Dies ergibt: \(t = 0.5s + 2.5 \, \wedge \, t=2s+4 \Longrightarrow s=-1,\, t=2\)
Nun suchst du dir eine Gerade aus, setzt den Parameterwert ein und nutzt den Vektor als Ortsvektor der Geraden.
Z.B. \(g_a: \begin{pmatrix}1\\ -1\\ -1\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\ 5\\ 1\end{pmatrix}\)
Somit lautet die Geradengleichung: \(g_c: \vec{x}=\begin{pmatrix}5\\ 5\\ 1\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}7\\ -7\\ 7\end{pmatrix}\)
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