Hallo!

Die Definitinosmenge lautet wie folgt:

\(\displaystyle (-\infty,0]\cup(1,\infty) \).

Die Nullstellen:

\(\displaystyle \ln\big(g(x)\big) \overset{!}{=} 0 \quad\Longleftrightarrow\quad g(x) = 1 \).

Monotonieverhalten:

Für \(\displaystyle x\in(-\infty,-\xi_1]\cup (\xi_1,-3)  \) (\(\displaystyle  \xi_1\) die erste Nullstelle): streng monoton steigend (Intervall aufgespalten, damit Du nochmal den Zusammenhang mit der Nullstelle siehst …).

Für \(\displaystyle  x\in(-3,\xi_2]\): streng monoton fallend.

Für \(\displaystyle x\in(\xi_2,0] \): streng monoton fallend.

Für \(\displaystyle  x\in (1,\xi_3)\): streng monoton fallend.

Und für den Rest streng monoton fallend …

Gruß.