Herleitung Euler‘sche Zahl

Erste Frage Aufrufe: 1971     Aktiv: 22.06.2019 um 15:57
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Hallo, ich hab da ein kleines Verständnis Problem.... Gehen wir davon aus, man kennt die Zahl e nicht, man weiß nur, dass es eine Zahl ist, deren Ableitung exakt die selbe Funktion ist und wahrscheinlich zwischen 2 und 3 liegt. Um das mit der h-Methode zu beweisen, muss der Differenzenquotient 1 ergeben, okay alles klar 👌 Damit der aber 1 ergibt, muss ich ja für e eine Zahl einsetzen, die ich aber nicht kenne, wie eingangs erwähnt..... Natürlich könnte man Differenzenquotienten nach e umstellen, da man weiß das er 1 ergeben muss, also etwa:

\(\sqrt[h]{h+1}\) = e

Ist das so alles richtig ? Vllt. kanns mir jemand noch besser erklären 😎 ne andere Herleitung oder so 👍🏼 Zweite Frage: Kann mir jemand den Beweis/Herleitung mit dem Binomischen Lehrsatz zeigen ? Beste Grüße

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Student, Punkte: 30

 
Vielen Dank, aber die Antwort bringt mir nichts.   ─   fbtechniker 21.06.2019 um 20:35
Die Zahl ist einfach so definiert. Der Grenzwert ergibt die Zahl, da muss man nichts einsetzen.   ─   einmalmathe 21.06.2019 um 20:36
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Hallo!

 

\(\displaystyle  a^x\lim_{h\to 0} \frac{a^h - 1}{h} = a^x \quad\Longleftrightarrow\quad \lim_{h\to 0} \sqrt[h]{h+1} = a\) bzw. mit \(\displaystyle  \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = \lim_{h\to 0} h\)

 

\(\displaystyle a = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \).

 

Gruß.

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Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 1.57K

 
Okay, also ist die Vermutung von mir oben soweit richtig ? e kann ich mit der Umstellung ausrechnen 👍🏼 Danke   ─   fbtechniker 22.06.2019 um 11:30
Die Eulersche Zahl ist der Grenzwert der oben beschriebenen Gleichung. Die Zahl ist einfach so definiert. Eine Definition kann man nicht beweisen, entweder ist sie logisch bzw. nützlich oder nicht.   ─   einmalmathe 22.06.2019 um 15:57

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Hat jemand noch eine ausführliche Antwort für die Herleitung mit dem Binomischen Lehrsatz ? 

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Student, Punkte: 30

 

Wie genau mit dem Binomischen Lehrsatz? \(\displaystyle (x+y)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^{n-k}y^k\). Wenn Du mit dem Lehrsatz \(\displaystyle a^x = (a+0)^x\) berechnest, hast Du nur einen Summanden (kannst Du selber nachprüfen). Die Eulersche Zahl ist so definiert, da muss man nichts zeigen – weiß Du, was ich meine? Dies ist eine Definition …
   ─   einmalmathe 22.06.2019 um 15:55

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