Hallo!

\(\displaystyle  \sin(2x) = \sqrt{3}\sin(x) \quad\Longleftrightarrow\quad 2\sin(x)\cos(x) = \sqrt{3}\sin(x)\). Mit \(\displaystyle  z = \sin(x)\) und \(\displaystyle  \sqrt{1-z^2} = \cos(x)\), erhält man:

\(\displaystyle  \pm 2z\sqrt{1-z^2} = z\sqrt{3}\), wobei man hier direkt \(\displaystyle  z = 0\quad\Longleftrightarrow\quad \sin(x) = 0\quad\Longleftrightarrow\quad x_2 = k\pi\quad\text{mit}\quad k\in \mathbb{Z}\).

Für \(\displaystyle  z\neq 0\) folgt weiter:

\(\displaystyle  \left(\pm 2\sqrt{1-z^2}\right)^2 = \sqrt{3}^2 \quad\Longleftrightarrow\quad z = \pm\frac{1}{2} \quad\Longleftrightarrow\quad x_2 = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k\). Das letzte \(\displaystyle  \pm\) gilt, denn \(\displaystyle  \sin(-x) = -\sin(x)\) und wir haben eine Gleichung, also kürzt sich das Vorzeichen weg.

Bei \(\displaystyle  x_2\) kannst Du noch die \(\displaystyle  \frac{\pi}{6}\) ausklammern und erhälst so die Lösung.

Gruß.