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Hallo!
\(\displaystyle 1 = \lim_{n\to\infty}\frac{n}{x}\left(\ln\left(1+\frac{x}{n}\right)\right) \quad\Longleftrightarrow\quad \lim_{n\to\infty}\mathrm{e}^{\frac{x}{n}} = 1+\frac{x}{n} \quad\Longleftrightarrow\quad \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n} = \mathrm{e}^x \).
Zum zweiten Teil:
\(\displaystyle 1 = \lim_{n\to\infty}\frac{n}{x}\left(\mathrm{e}^{\frac{x}{n}}-1\right) \quad\Longleftrightarrow\quad \lim_{n\to\infty} 1+\frac{x}{n} = \mathrm{e}^{\frac{x}{n}} \quad\Longleftrightarrow\quad \lim_{n\to\infty}n\cdot\ln\left(1+\frac{x}{n}\right) = x \quad\Longleftrightarrow\quad x = x\).
Gruß.
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einmalmathe
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 1.57K
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Hallo, vielen Dank für die Antwort. Bei der allersten Äquivalenz verstehe ich leider nicht, wieso ich e^(x/n) setze. Vorher habe ich doch den Vorfaktor n/x, wenn ich diesen verwende, erhalte ich e^(n/x) (was nicht korrekt ist). Mich würde also interessieren, wie man dahin gelangt.
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tisterfrimster
23.06.2019 um 09:17
Bei deiner zweiten Rechnung verstehe ich nicht, wo die erste Gleichung herkommt und wie man dann auf die Äquivalenzen kommt. Handelt es sich dabei um ln(e)? Wenn ja, woher stammt dann das x?
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tisterfrimster
23.06.2019 um 09:26
Ich habe einfach für \(\displaystyle h = \frac{x}{n}\) eingesetzt und mit den entsprechenden Rechenregeln für Brüche weitergerechnet. Bei der letzten Gleichung beziehe ich mich auf die erste, indem Du den Faktor als Exponenten „reinholst“ und damit dann die erste (bewiesene) Gleichung verwenden kannst. Außerdem gilt, dass \(\displaystyle \lim_{h\to 0} h = \lim_{n\to\infty} \frac{x}{n}\).
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einmalmathe
23.06.2019 um 16:17