Natürliche Ordnung, Produktordnung, Hasse-Diagramm

Aufrufe: 1886     Aktiv: 09.07.2019 um 19:06
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Hallo,

Bei dieser Aufgabe verstehe ich ich nicht wie ichauf die Produktodnung kommen kann. Soll ich die Elemente mit einander multiplizieren? Und wie werde ich die Ergebnisse auf das Hasse-Diagramme einbringen?

Es sei A1 = A2 := {1, 2, 3}. Auf A1 und A2 betrachten wir die natürliche Ordnung der Elemente betrachtet als Zahlen. Wie sieht die Produktordnung auf A1 × A2 aus? Zeichnen Sie ein Hasse-Diagramm.

Ich bin für jeden Hinweis sehr dankbar!

Eva - Geisteswissenschaftlerin, die gerade mit Mathe kämpft 

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Hallo,

kannst du mir einmal eure Definiton der natürlichen Ordnung zeigen? Hatte den Begriff leider noch nicht.

Oder ist damit die Ordnung \( \leq \) gemeint?

Grüße Christian

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Hallo Christian,

eine genaue Def haben wir nicht, deshalb gehe ich davon aus, dass es um diese Ordnung geht, also 1<2 usw.

Vielen vielen Dank

Eva

ps. Gibst du vlt. Unterricht per Skype? :)))

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Alles klar. Für zwei Zahlentupel gilt in Bezug auf das Vergleichszeichen \( < \):

\( (x_1 , x_2 , \ldots , x_n ) < ( y_1 , y_2 , \ldots , y_n ) \) gilt, wenn es mindestens ein \( i \in \{1,2,\ldots,n \} \) mit \( x_i < y_i \) und für die restlichen \( x_i = y_i \) gilt. 

Nun basteln wir uns doch erstmal \( A_1 \times A_2 \). Kennst du dich mit dem kartesischen Produkt aus?

\( A_1 \times A_2 := \{ (a,b) \ | \ a \in A_1 , \ b \in A_2 \} \)

Schaffst du es das kartesische Produkt von \( A_1 \) und \( A_2 \) zu erstellen? Du Erhälst eine Menge mit 9 Zahlenpaaren. 

Nun wollen wir das Hasse-Diagramm davon erstellen. Das bedeutet wir fangen mit dem Zahlenpaar \( (1,1) \) an. Dies ist offensichtlich unser kleinstes Zahlenpaar. 
Nun überlegst du dir welche Zahlenpaare größer als \( (1,1) \) sind und zustätzlich nur \( (1,1) \) als kleineres Zahlenpaar haben. Dies ist dann deine zweite Reihe des Hasse Diagramms usw. 

Am besten erstellen wir erstmal das kartesische Produkt :)

Wir wollen das Feature hier noch einbauen, das sich zwei Leute für Nachhilfe matchen können. Melde dich mal beim ContentSupport. Dann können wir das vielleicht testweise mal probieren. 

Grüße Christian

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Hallo Christian,gerade von der Mathe-VL zu Hüllenabbildungen zurückgekommen - es kommen mehrere Fragen dazu.Das AxA ist (1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3) oder ?Danke! Beste Grüße Eva
   ─   evatsigkana 24.06.2019 um 16:57
Genau das ist schon mal dein kartesisches Produkt. Nun ist dein kleinstes Element \( (1,1) \). Es gibt nun 3 Elemente die als kleineres Element nur \( (1,1) \) haben. Welche sind das?

Grüße Christian   ─   christian_strack 24.06.2019 um 19:34
Danke, Christian!
Ich dachte, es wäre die Paare (1,2)&(1,3), die (1,1) als kleineres haben, also 2 nicht drei.

Beste Grüße
Eva   ─   evatsigkana 24.06.2019 um 19:37
Ein Tupel ist größer als ein anderes, wenn mindestens ein Eintrag größer ist und alle die nicht größer sind gleich sind.
Jetzt sehe ich das ich mich verschrieben habe ich meinte auch 2 größere Paare, aber die beiden stimmen nicht ganz.
Nun suchen wir erstmal nur die Paare die größer sind und dazu nur \( (1,1) \) als kleineres Tupel haben.
\( (1,3) \) hat zum Beispiel \( (1,2 \) als kleineres Element. \( (1,2) \) ist aber schon mal richtig.
Nun ist aber auch \( (2,1) \) größer.
Du schreibst also \( (1,1) \) nach ganz unten und dann eine Ebene darüber diese beiden Paare und verbindest \( (1,1) \) mit beiden, aber nicht beide untereinander, den keins ist größer als das andere.
Jetzt suchen wir jeweils für die Paare \( (1,2) \) und \( (2,1) \) die Paare die größer sind und bei denen es kein Paar zwischen ihm und \( (2,1) \) bzw \( (1,2) \) gibt.
Welche sind das?   ─   christian_strack 24.06.2019 um 19:52
Wenn ich es richtig verstanden habe, (1,3) ist größer als (1,2) und (2,2) größer als (2,1) und (2,3) größer als (2,2). Richtig? Wenn ja, dann soll (3,1) über (2,3) sein und (3,2) über (3,1). Ganz oben soll (3,3) stehen, aber nicht in Verbindung zu (1,3) stehen?   ─   evatsigkana 24.06.2019 um 20:36
Nicht ganz.
Wir nehmen \( (1,2) \). Wir erhöhen erstmal die 1 um einen und halten die 2 fest und erhalten \( (2,2) \). Dann erhöhen wir die 2 und halten die 1 fest und erhalten \( (1,3) \). Zum Schluss erhöhen wir beide und erhalten \( (2,3) \).. Nun ist aber auch \( (2,2) \) kleiner als \( (2,3) \) und größer als \( (1,2) \). Also sind die beiden nächsten Paare \( (2,2) \) und \( (1,3) \).
Analog finden wir für \( (2,1) \) die beiden größeren Paare \( (2,2) \) und \( (3,1) \).
Also haben wir in der nächsten Ebene drei Paare. Zu dem Paar \( (2,2) \) gehen somit sogar 2 Pfeile.

Nun zur nächsten. Was sind die nächsthöheren Paare von \( (1,3), (2,2) \) und \( (3,1) \). Es sind insgesammt 2 Paare.
Ganz oben steht dann nur noch ein Paar. Welches ist das?
Ich lade nach dem wir das durchgearbeitet haben zur Kontrolle gerne das Hasse Diagramm nochmal hoch.

Grüße Christian   ─   christian_strack 24.06.2019 um 23:31
Hallo,

es sind 3.2 und 2.3 und ganz oben bleibt dann 3.3.

Ich bin gespannt auf das Diagramm :)

Beste Grüße und Danke
Eva   ─   evatsigkana 25.06.2019 um 09:04

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Hallo,

ich hoffe du kannst alles lesen. Hier das erarbeitete Hasse-Diagramm

Grüße Christian

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Wirklich die beste Hilfe, die ich mir gewünscht hätte. Ich habe alles verstanden, dank dir! DANKE!   ─   evatsigkana 25.06.2019 um 19:41
Das freut mich zu hören. Sehr gerne :)   ─   christian_strack 25.06.2019 um 20:26

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