Guten Abend,

zunächst überprüfst Du - wie bei Dir geschehen -, dass die Reihe konvergiert. Ich habe es nach dem Quotientenkriterium gemacht, aber das bleibt jedem selbst überlassen.

Nun erfolgt eine Reihe von Rechnungen:

\( \sum_{n=3}^{\infty} \frac{3^n}{3 \cdot 5^n} = \frac{1}{3} \sum_{n=3}^{\infty} \frac{3}{5}^n \)

Da die geometrische Reihe ab 0 beginnt, erweitere die Summe und ziehe die Summanden wieder ab

\( = \frac{1}{3} [ \sum_{n=0}^{\infty} (\frac{3}{5})^n - \sum_{n=0}^{2} (\frac{3}{5})^n ] \)

Setze den Grenzwert der geometrischen Reihe ein

\( = \frac{1}{3} [ \frac{1}{1-\frac{3}{5}} - ((\frac{3}{5})^0 + (\frac{3}{5})^1 + (\frac{3}{5})^2)] \)

Vereinfache

\( = \frac{1}{3} [ \frac{5}{2} - (1 + \frac{3}{5} + \frac{9}{25})] \)

\( = \frac{1}{3} [ \frac{5}{2} - \frac{49}{25}] \)

\( = \frac{1}{3} \cdot \frac{27}{50} = \frac{9}{50}\).

Der Unterschied zu Deinem Ansatz besteht vor allem darin, die Reihe bis auf 0 zu erweitern und Summanden, die zu viel sind, wieder zu entfernen. Mir ist keine Formel bekannt, die auf \( n + 3 \) als Exponenten anzuwenden ist.