\(r,\, s,\, t,\, \lambda\) etc. sind nur die Parameter der Richtungsvektoren. Da Geraden und Ebenen unbegrenzt sind, erzeugt man nicht nur einen Punkt, sondern eben die Gerade/Ebene, die aus unendlich vielen Punkten besteht. Der Parameter verlängert bzw. verkürzt den Richtungsvektor, wodurch jeder Punkt (bzw. Ortsvektor) auf der Geraden mit der jeweiligen Gleichung beschrieben werden kann.

Wenn eine Gerade bspw. durch die Punkte \((1|1)\) und \((3|2)\) verlaufen soll, so wäre eine mögliche Geradengleichung \(g: \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}2\\ 1\end{pmatrix}\).

Setzt man nun \(r=0\), erhält man \(\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}+0\begin{pmatrix}2\\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}\), also den Ortsvektor des Punkts \((1|1)\).

Da die Gerade aber auch durch den Punkt \((7|4)\) verlaufen muss, muss es also einen \(r\)-Wert geben, mit dem die Geraden einen Ortsvektor abbildet, der \(\begin{pmatrix}7\\ 4\end{pmatrix}\) lautet. In diesem Fall \(r=3\).

In Koordinatenform würde die Geradengleichung übrigens \(f(x)=0.5x+0.5\) lauten. Hier entspricht das \(x\) praktisch dem \(r\), man kann jeweilige Werte einsetzen, wodurch immer eine x-Koordinate erzeugt wird, die auf der Geraden liegt.